Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若不等式在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析

【解析】分析：（1）求出的導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間，注意在解不等式時(shí)要按的值分類討論；

（2）由（1）的結(jié)論知當(dāng)時(shí)，，題中不等式成立，而當(dāng)時(shí)，題中不等式不恒成立；

（3）時(shí)，由（2）知上有，從而，令，然后所有不等式相加可證．

詳解： (1)∵y＝f(x)－g(x)＝ln(ax＋1)－，

y′＝－＝，

當(dāng)a≥1時(shí)，y′≥0，所以函數(shù)y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函數(shù)；

當(dāng)0<a<1時(shí)，由y′>0得x>2，所以函數(shù)y＝f(x)－g(x)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)y＝f(x)－g(x)在上是單調(diào)遞減函數(shù)；

(2)當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函數(shù)．

所以f(x)－g(x)≥f(0)－g(0)＝1，

即不等式f(x)≥g(x)＋1在x∈[0，＋∞)時(shí)恒成立，

當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y＝f(x)－g(x)是上的減函數(shù)，存在，使得f(x0)－g(x0)<f(0)－g(0)＝1，即不等式f(x0)≥g(x0)＋1不成立，

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞)．

(3)當(dāng)a＝1時(shí)，由(2)得不等式f(x)>g(x)＋1在x∈(0，＋∞)時(shí)恒成立，

即ln(x＋1)>，所以，

即< [ln(k＋1)－lnk]．

所以< (ln2－ln1)，

< (ln3－ln2)，

< (ln4－ln3)，…，

< [ln(n＋1)－lnn]．

將上面各式相加得到，＋＋＋…＋< [(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋(ln4－ln3)＋…＋(ln(n＋1)－lnn)]＝ln(n＋1)＝f(n)．

∴原不等式成立．