(07年北師大附中)  已知函數(shù)f (x ) = x4-4x3 + ax2-1在區(qū)間[0,1]單調(diào)遞增,在區(qū)間[1,2單調(diào)遞減.

(1)求a的值;

(2)若點(diǎn)A (x0,f (x0))在函數(shù)f (x )的圖像上,求證點(diǎn)A關(guān)于直線x = 1的對(duì)稱點(diǎn)B也在函數(shù)f (x )的圖像上;

(3)是否存在實(shí)數(shù)b,使得函數(shù)g (x ) = bx2-1的圖像與函數(shù)f (x )的圖像恰有3個(gè)交點(diǎn),若存在,請(qǐng)求出實(shí)數(shù)b的值;若不存在,試說(shuō)明理由.

解析:(1)由函數(shù)f (x ) = x4-4x3 + ax2-1在區(qū)間[0,1單調(diào)遞增,在區(qū)間[1,2單調(diào)遞減,

x = 1時(shí),取得極大值,

(1 ) = 0,( x ) = 4x3-12x2 + 2ax,

∴ 4-12 + 2a = 0     a = 4.

(2)點(diǎn)A (x0,f (x0))關(guān)于直線x = 1的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為 (2-x0,f (x0)),

f (2-x0) = (2-x0)4-4(2-x0)3 + 4 (2-x0)2-1

                     = (2-x0)2[(2-x0)-2]2-1

                     =-4+ a-1 = f (x0),

∴ A關(guān)于直線x = 1的對(duì)稱點(diǎn)B也在函數(shù)f (x )的圖像上.

(3)函數(shù)g (x ) = bx2-1的圖像與函數(shù)f (x )的圖像恰有3個(gè)交點(diǎn),等價(jià)于方程x4-4x3 + 4x2-1 = bx2-1恰有3個(gè)不等實(shí)根,

x4-4x3 + 4x2-1 = bx2-1 x4-4x3 + (4-b)x2 = 0.

x = 0是其中一個(gè)根,

∴ 方程x4-4x3 + (4-b)x2 = 0有兩個(gè)非零不等實(shí)根,

, b>0且b≠4.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(07年北師大附中) 已知函數(shù)f (x ) = kx3-3 (k +1) x2k2 + 1(k>0).

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(2)當(dāng)xk時(shí),求證:2>3-.

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(07年北師大附中) 設(shè)函數(shù)y = x3 + ax2 + bx + c的圖象如圖所示,且與y = 0在原點(diǎn)相切,若函數(shù)的極小值為-4,

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(07年北師大附中) 已知f (x ) = x3 + bx2 + cx + d在(-∞,0)上是增函數(shù),在[0,2]上是減函數(shù),且方程f (x ) = 0有三個(gè)根,它們分別為α,2,β.

(1)求c的值;

(2)求證:f (1 )≥2.

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