【題目】某班有20人參加語文、數(shù)學(xué)考試各一次，考試按10分制評分，即成績是0到10的整數(shù).考試結(jié)果是：（1）沒有0分；（2）沒有兩個同學(xué)的語文、數(shù)學(xué)成績都相同.我們說“同學(xué)比的成績好”是指“同學(xué)的語文、數(shù)學(xué)成績都不低于”.證明：存在三個同學(xué)、、，使得同學(xué)比的成績好，同學(xué)比的成績好.

【答案】見解析

【解析】

若同學(xué)比的成績好，記為.

原問題等價于證明：存在三個同學(xué)、、，滿足.

用表示第個同學(xué)的語文、數(shù)學(xué)成績，于是，，且等號不同時成立.

因為語文成績在1到10的整數(shù)中取值，對這20個同學(xué)的語文成績，由抽屜原理知，下列情形之一必然出現(xiàn)：

情形1：某個分數(shù)值，至少有三個人取得，即存在某個，使得（其中、、兩兩不等）；

情形2：每個分數(shù)值，恰好有兩個人取得，即對任意的，存在不同的、，使得.

同理，對于數(shù)學(xué)成績同樣有兩種情形：

情形：存在某個，使得（其中、、兩兩不等）；

情形：對任意的，存在不同的、，使得.

下面進行討論：

對情形1：若，則由條件（2）知、、兩兩不等.

不失一般性，不妨設(shè)，則，即存在三個同學(xué)、、滿足.

對情形同理可證.

對情形：有兩個，不失一般性，設(shè)，于是，得，，且.

不失一般性，不妨設(shè)，則.

這時，對于，若出現(xiàn)情形，則結(jié)論成立；若出現(xiàn)情形，則必有兩人得10分.

不妨設(shè)為、，易知、中至少有一個不取1（否則與條件（2）矛盾）.設(shè)為，則.

所以，，故結(jié)論成立.

對于情形同理可證.

綜上所述，結(jié)論成立.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）在給定坐標系下作出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象指出的單調(diào)遞增區(qū)間；

（3）若函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個公共點，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，E是BC的中點，求證：

（Ⅰ）平面AB1E⊥平面B1BCC1；

（Ⅱ）A1C//平面AB1E．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，過且斜率為1的直線與拋物線交于不同的兩點

（1）求的取值范圍；

（2）若線段的垂直平分線交軸于點，求面積的最大值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（1）若個棱長為正整數(shù)的正方體的體積之和等于2005，求的最小值，并說明理由；

（2）若個棱長為正整數(shù)的正方體的體積之和等于，求的最小值，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)．

討論的單調(diào)區(qū)間；

當時，在上的最小值為，求在上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列說法：

①將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差恒不變；

②設(shè)有一個回歸方程，變量x增加一個單位時，y平均增加5個單位；

③線性回歸方程必過；

④在一個列聯(lián)表中，由計算得是，則有的把握確認這兩個變量間有關(guān)系.

其中錯誤的個數(shù)是（ ）

本題可以參考獨立性檢驗臨界值表：

0.05

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

A.0B.1C.2D.3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知奇函數(shù)f（x），函數(shù)g（θ）＝cos2θ+2sinθ，θ∈[m，]．m，b∈R．

（1）求b的值；

（2）判斷函數(shù)f（x）在[0，1]上的單調(diào)性，并證明；

（3）當x∈[0，1]時，函數(shù)g（θ）的最小值恰為f（x）的最大值，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】階梯水價的原則是“保基本、建機制、促節(jié)約”，其中“�；�”是指保證至少80%的居民用戶用水價格不變.為響應(yīng)國家政策，制訂合理的階梯用水價格，某城市采用簡單隨機抽樣的方法分別從郊區(qū)和城區(qū)抽取5戶和20戶居民的年人均用水量進行調(diào)研，得到數(shù)據(jù)如下（單位：噸）.

郊區(qū)：19 25 28 32 34

城區(qū)：18 19 21 22 22 23 23 23 24 25 26 27 28 28 28 29 29 31 35 42

（1）在郊區(qū)的這5戶居民中隨機抽取2戶，求其年人均用水量都不超過30噸的概率；

（2）設(shè)該城市郊區(qū)和城區(qū)的居民戶數(shù)比為1：5，現(xiàn)將年人均用水量不超過30噸的用戶定義為第一階梯用戶，并保證這一階梯的居民用戶用水價格保持不變，試根據(jù)樣本總體的思想，分析此方案是否符合國家“�；�”政策.

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