如圖，在三棱錐中，，，設頂點在底面上的射影為．

（Ⅰ）求證:；
（Ⅱ）設點在棱上，且，試求二面角的余弦值．

（1）根據(jù)題意，由于已知條件可知平面，那么利用線面垂直的性質定理得到。
（2）

解析試題分析：證明：（I）方法一：由平面得，
又，則平面，
故，  2分
同理可得，則為矩形，又，
則為正方形，故．  4分
方法二：由已知可得，設為的中點，則，則平面，故平面平面，則頂點在底面上的射影必在，故．
（II）方法一:由（I）的證明過程知平面，過作，垂足為，則易證得，故即為二面角的平面角， 7分
由已知可得，則，故，則，
又，則，  9分
故，即二面角的余弦值為． 11分
方法二: 由（I）的證明過程知為正方形，如圖建立坐標系，

則，
可得， 7分
則，易知平面
的一個法向量為，設平面的一個法向量為
，則由得， 9分
則，即二面角的余弦值為． 11分
考點：線面垂直的性質定理以及二面角的大小
點評：主要是考查了線面垂直以及二面角的平面角的求解的運用屬于基礎題。

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，正方形所在的平面與正方形所在的平面相互垂直，、分別是、的中點．
 
（1）求證：面面；
（2）求直線與平面所成的角正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖, 三棱柱ABC－A1B1C1中, 側棱A1A⊥底面ABC,且各棱長均相等. D, E, F分別為棱AB, BC, A1C1的中點.

(Ⅰ) 證明EF//平面A1CD;
(Ⅱ) 證明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ) 求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱柱

（I）當正視方向與向量的方向相同時，畫出四棱錐的正視圖（要求標出尺寸，并寫出演算過程）；
（II）若M為PA的中點，求證：求二面角
（III）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知為平行四邊形所在平面外一點，為的中點，
求證：平面．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在底面是正方形的四棱錐P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點E，F(xiàn)是PC中點，G為AC上一點．

（1）求證：BD⊥FG；
（2）確定點G在線段AC上的位置，使FG//平面PBD，并說明理由．
（3）當二面角B—PC—D的大小為時，求PC與底面ABCD所成角的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在如圖所示的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
且AC=AD=CD=DE=2，AB=1．

（Ⅰ）請在線段CE上找到點F的位置，使得恰有直線BF∥平面ACD，并證明這一事實；
（Ⅱ）求多面體ABCDE的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在長方體中，，過、、三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體，且這個幾何體的體積為．

（1）求棱的長；
（2）求點到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，AB＝2，E、F分別在BC、AD上，EF∥AB．現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF平面EFDC．

(Ⅰ) 當，是否在折疊后的AD上存在一點，且，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；
(Ⅱ) 設BE＝x，問當x為何值時，三棱錐ACDF的體積有最大值？并求出這個最大值．

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