動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在線段AB上移動(dòng),其中A(-3,0),B(0,3),求:
(1)
y+1
x-1
的取值范圍;   
(2)
x2+y2
+
(x-1)2+y2
的最小值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).
分析:(1)根據(jù)直線的傾斜公式,設(shè)C(1,-1)得
y+1
x-1
表示PC的斜率.由此作出圖形并觀察PC傾斜角的變化,即可得到
y+1
x-1
的取值范圍;
(2)設(shè)M(0,0),N(1,0),則所求目標(biāo)函數(shù)表示P與M、N兩點(diǎn)間的距離之和.利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的方法進(jìn)行求解,即可得到當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-
9
7
,
12
7
)時(shí),目標(biāo)函數(shù)的最小值為5.
解答:解:(1)設(shè)C(1,-1),則
y+1
x-1
=kPC
,表示PC的斜率
觀察圖形,直線PA的傾斜角總是鈍角,由此可得
當(dāng)P與A重合時(shí),kPC=-
1
4
達(dá)到最大值;
當(dāng)P與B重合時(shí),kPC=-4達(dá)到最小值
∴kPC∈[-4,-
1
4
],即-4≤
y+1
x-1
≤-
1
4

(2)直線AB的方程為lAB:x-y+3=0,
設(shè)M(0,0),N(1,0),M'為點(diǎn)M關(guān)于直線AB對(duì)稱的點(diǎn),
求得M'(-3,3),則|PM|+|PN|=
x2+y2
+
(x-1)2+y2

∵|PM|+|PN|=|PM′|+|PN|≥|M′N|
∴當(dāng)P、M'、N三點(diǎn)共線時(shí),
|PM|+|PN|達(dá)到最小值|M′N|=
(-3-1)2+(3-0)2
=5
求得直線M′N方程為3x+4y-3=0,
由此解出M′N、AB的交點(diǎn)坐標(biāo)為P(-
9
7
,
12
7

x2+y2
+
(x-1)2+y2
的最小值等于5,此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-
9
7
12
7
).
點(diǎn)評(píng):本題給出線段AB,求直線斜率的范圍并求距離和的最小值.著重考查了直線的基本量與基本形式、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱和兩點(diǎn)的距離公式等知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.
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