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如圖菱形ABEF所在平面與直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，,點H、G分別是線段EF、BC的中點.
（1）求證：平面AHC平面;（2）點M在直線EF上，且平面，求平面ACH與平面ACM所成銳角的余弦值.

（1）詳見解析；（2）平面ACH與平面ACM所成銳角的余弦值為.

解析試題分析：（1）要證面面垂直，首先證線面垂直.那么在本題中證哪條線垂直哪個面？結合條件可得，，所以面AHC，從而平面AHC平面BCE.（2）因為AD、AB、AH兩兩互相垂直，故分別以AD、AB、AH所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，然后利用空間向量即可求解.
（1）在菱形ABEF中，因為，所以是等邊三角形，又因為H是線段EF的中點，所以
因為面ABEF面ABCD，且面ABEF面ABCD=AB，
所以AH面ABCD，所以
在直角梯形中，AB=2AD=2CD=4，，得到，從而，所以，又AHAC=A
所以面AHC，又面BCE，所以平面AHC平面BCE    .6分
（2）分別以AD、AB、AH所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則有
設點，則存在實數，使得，代入解得
由（1）知平面AHC的法向量是
設平面ACM的法向量是，則得
所以
即平面ACH與平面ACM所成銳角的余弦值為.      12分
考點：(1)空間直線與平面的關系；（2）二面角.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖. 直三棱柱ABC —A1B1C1中，A1B1= A1C1,點D、E分別是棱BC，CC1上的點（點D不同于點C），且AD⊥DE，F為B1C1的中點．
求證：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1
（2）直線A1F∥平面ADE．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在幾何體ABCDE中，∠BAC=，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC， AB=AC=BE=2，CD=1.
（1）設平面ABE與平面ACD的交線為直線，求證：∥平面BCDE；
（2）設F是BC的中點，求證：平面AFD⊥平面AFE；
（3）求幾何體ABCDE的體積.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側棱⊥底面 ，，是的中點，作交于點．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（13分）（2011•廣東）如圖所示的幾何體是將高為2，底面半徑為1的直圓柱沿過軸的平面切開后，將其中一半沿切面向右水平平移后得到的，A，A′，B，B′分別為的中點，O1，O1′，O2，O2′分別為CD，C′D′，DE，D′E′的中點．

（1）證明：O1′，A′，O2，B四點共面；
（2）設G為A A′中點，延長A′O1′到H′，使得O1′H′=A′O1′．證明：BO2′⊥平面H′B′G

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱柱—中，側棱垂直底面，，。
（1）求證：；
（2）求二面角——的大小。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，ABCD是邊長為2的正方形，,ED=1，//BD，且.
（1）求證：BF//平面ACE；
（2）求證：平面EAC平面BDEF;
（3）求二面角B-AF-C的大小.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，AD//BC，BC=2AD，AC，Q是線段PB的中點.

（1）求證：平面PAC；
（2）求證：AQ//平面PCD.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側面底面，，分別為，中點，．
（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在一點，使平面？若存在，指出點的位置；若不存在，說明理由．

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