【題目】某學(xué)校高三年級(jí)有學(xué)生500人,其中男生300人,女生200人,為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)是否與性別有關(guān),現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名學(xué)生,先統(tǒng)計(jì)了他們期中考試的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù),然后按性別分為男、女兩組,再將兩組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分成5組:[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分別加以統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)從樣本中分?jǐn)?shù)小于110分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求兩人恰好為一男一女的概率;
(2)若規(guī)定分?jǐn)?shù)不小于130分的學(xué)生為“數(shù)學(xué)尖子生”,請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)尖子生與性別有關(guān)”?

P(K2≥k0

0.100

0.050

0.010

0.001

k0

2.706

3.841

6.635

10.828

附:K2=

【答案】
(1)解:由已知得,抽取的100名學(xué)生中,男生60名,女生40名,

分?jǐn)?shù)小于等于110分的學(xué)生中,

男生人有60×0.05=3(人),記為A1,A2,A3

女生有40×0.05=2(人),記為B1,B2

從中隨機(jī)抽取2名學(xué)生,所有的可能結(jié)果共有10種,它們是:

(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),

(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2);

其中,兩名學(xué)生恰好為一男一女的可能結(jié)果共有6種,它們是:

(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),

(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2

故所求的概率為P= =


(2)解:由頻率分布直方圖可知,

在抽取的100名學(xué)生中,男生 60×0.25=15(人),女生40×0.375=15(人);…

據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下:

數(shù)學(xué)尖子生

非數(shù)學(xué)尖子生

合計(jì)

男生

15

45

60

女生

15

25

40

合計(jì)

30

70

100

所以得K2= = ≈1.79;…

因?yàn)?.79<2.706,

所以沒有90%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)尖子生與性別有關(guān)”


【解析】(1)根據(jù)分層抽樣原理計(jì)算抽取的男、女生人數(shù),利用列舉法計(jì)算基本事件數(shù),求出對(duì)應(yīng)的概率值;(2)由頻率分布直方圖計(jì)算對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù),填寫列聯(lián)表,計(jì)算K2值,對(duì)照數(shù)表即可得出概率結(jié)論.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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分?jǐn)?shù)(分?jǐn)?shù)段)

頻數(shù)(人數(shù))

頻率

[60,70)

9

x

[70,80)

y

0.38

[80,90)

16

0.32

[90,100)

z

s

合計(jì)

p

1

(Ⅰ)求出上表中的x,y,z,s,p的值;
(Ⅱ)按規(guī)定,預(yù)賽成績(jī)不低于90分的選手參加決賽,參加決賽的選手按照抽簽方式?jīng)Q定出場(chǎng)順序.已知高一二班有甲、乙兩名同學(xué)取得決賽資格.
①求決賽出場(chǎng)的順序中,甲不在第一位、乙不在最后一位的概率;
②記高一二班在決賽中進(jìn)入前三名的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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(1)求C的方程;

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1,證明:l過定點(diǎn).

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(1)求P的軌跡E
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(2)設(shè)動(dòng)圓同時(shí)平分圓的周長(zhǎng)、圓的周長(zhǎng).

①證明:動(dòng)圓圓心在一條定直線上運(yùn)動(dòng);

②動(dòng)圓是否經(jīng)過定點(diǎn)?若經(jīng)過,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不經(jīng)過,請(qǐng)說明理由.

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(1)求這名同學(xué)三門學(xué)科都能進(jìn)復(fù)賽的概率;

(2)設(shè)這名同學(xué)能進(jìn)復(fù)賽的學(xué)科數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望

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(Ⅲ)求曲線的最小覆蓋圓的方程.

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