Question

平面上有四點A、B、Q、P，其中A、B為定點，且|AB|=

3

，P、Q為動點，滿足|AP|=|PQ|=|QB|=1，△APB和△PQB的面積分別為m、n．
（1）求∠A=30°，求∠Q
（2） 求m²+n²的最大值．

Answer 1

分析：（1）由余弦定理分別表示出PB，建立等式求得cosQ的值，進而求得Q．
（2）分別利用三角形面積公式表示出m和n，進而代入m²+n²中整理成關于cosA的表達式，根據cosA的范圍和二次函數的性質求得函數的最大值．

解答：解：（1）由余弦定理得PB²=1+3-2

3

cosA，PB²=1+1-2cosQ
∴4-2

3

cosA=2-2cosQ，由A=30°求得cosQ=

1

2

∴Q=60
（2）m²+n²=（

1

2

×1×

3

sinA）²+（

1

2

×1×1×sinQ）²=

3

4

sin²A+

1

4

（1-cos²Q）=-

3

2

（cosA-

3

6

）²+

7

8

∴當cosA=

3

6

時，m²+n²的最大值為

7

8

點評：本題主要考查了余弦定理的應用，二次函數的性質．考查了學生基礎知識的掌握和基本運算的能力．