Question

【題目】圓周上有800個(gè)點(diǎn)，依順時(shí)針方向標(biāo)號(hào)為，它們將圓周分成800個(gè)間隙.今選定某一點(diǎn)染成紅色，然后按如下規(guī)則，逐次染紅其余的一些點(diǎn)：如果第號(hào)點(diǎn)已被染紅，則可按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)過(guò)個(gè)間隙，再將所到達(dá)的那個(gè)端點(diǎn)染紅.如此繼續(xù)下去.試問(wèn)圓周上最多可得到多少個(gè)紅點(diǎn)？證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】25

【解析】

一般地，對(duì)一個(gè)有個(gè)點(diǎn)的圓周，我們把按題設(shè)規(guī)則所能染紅的點(diǎn)數(shù)的最大值記為.

若圓周上有個(gè)點(diǎn)，第一個(gè)被染紅的點(diǎn)的標(biāo)號(hào)為.

（1）若是一個(gè)偶數(shù)，那么，所有染紅的點(diǎn)的標(biāo)號(hào)均為偶數(shù)，其過(guò)程相當(dāng)于在一個(gè)有個(gè)點(diǎn)的圓周上，第一個(gè)染紅的點(diǎn)的標(biāo)號(hào)為的染點(diǎn)的過(guò)程，所以，兩圓周上所染紅的點(diǎn)數(shù)相同；

（2）若，其所染紅的第2個(gè)點(diǎn)的標(biāo)號(hào)為，是偶數(shù)，因此，其染紅的點(diǎn)數(shù)比有個(gè)點(diǎn)的圓周上第一個(gè)染紅的點(diǎn)的標(biāo)號(hào)為的染點(diǎn)的過(guò)程所得的紅點(diǎn)數(shù)多1.

綜上所述，得.

由此可得

.

對(duì)有25個(gè)點(diǎn)的圓周，不妨從1號(hào)點(diǎn)開始染紅，則可順次得標(biāo)號(hào)為1，2，4，8，16，7，14，3，6，12，24，23，21，17，9，18，11，22，19，13的20個(gè)紅點(diǎn)，故有.

反之，顯然若有 個(gè)紅點(diǎn)的標(biāo)號(hào)是5的倍數(shù)，則全部紅點(diǎn)的標(biāo)號(hào)均為5的倍數(shù).此時(shí)，紅點(diǎn)數(shù)小于或等于5.所以，達(dá)到最大值的染紅過(guò)程不含標(biāo)號(hào)為5的倍數(shù)的點(diǎn).從而，有，即.

因此，.