Question

【題目】隨著節(jié)假日外出旅游人數(shù)增多，倡導(dǎo)文明旅游的同時(shí)，生活垃圾處理也面臨新的挑戰(zhàn)，某海濱城市沿海有三個(gè)旅游景點(diǎn)，在岸邊兩地的中點(diǎn)處設(shè)有一個(gè)垃圾回收站點(diǎn)（如圖），兩地相距10，從回收站觀望地和地所成的視角為，且，設(shè)；

（1）用分別表示和，并求出的取值范圍；

（2）某一時(shí)刻太陽(yáng)與三點(diǎn)在同一直線，此時(shí)地到直線的距離為，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）的最大值為10．

【解析】試題分析：（1）本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，由圖根據(jù)余弦定理，在中， ，又因?yàn)?/span>，所以前面的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為，同理，在中， ，這樣結(jié)合前面得到的等式，可以用分別表示出和；（2）由于，所以的面積與的面積相等，因此的面積等于，又，于是可以將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，即，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最大值.

試題解析：（1）在中， ， ，

由余弦定理得， ，

又，所以 ①

在中， ，

由余弦定理得，

②

①+②得，

①-②得， ，

所以，即，

又，即，所以．

（2），

故，

又，設(shè)，

所以， ，

又， ， 在上都是增函數(shù)；

所以， 在上是增函數(shù)，

所以的最大值為，即的最大值為10．

（利用單調(diào)性定義證明在上是增函數(shù)，同樣給滿分；如果直接說(shuō)出在上是增函數(shù)，但未給出證明或討論，扣1分）