【題目】某學(xué)校在平面圖為矩形的操場ABCD內(nèi)進(jìn)行體操表演,其中AB=40,BC=15,O為AB上一點(diǎn),且BO=10,線段OC、OD、MN為表演隊(duì)列所在位置(M、N分別在線段OD、OC上),△OCD內(nèi)的點(diǎn)P為領(lǐng)隊(duì)位置,且P到OC、OD的距離分別為、,記OM=d,我們知道當(dāng)△OMN面積最小時(shí)觀賞效果最好.
(1)當(dāng)d為何值時(shí),P為隊(duì)列MN的中點(diǎn);
(2)怎樣安排M的位置才能使觀賞效果最好?求出此時(shí)△OMN的面積.
【答案】(1).(2) M,N,P 三點(diǎn)共線,面積為.
【解析】
1)以O為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,過O垂直于AB的直線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,OC:y=1.5x;OD:y=﹣0.5x,設(shè)P(a,b),M(﹣2m,m),N(n,1.5n),(m>0,n>0),求解即可
(2)通過推出,利用基本不等式以及三角形面積公式即可
(1)以O為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,過O垂直于AB的直線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.則C(10,15),B(10,0),D(﹣30,15),P(﹣4,4).OC:y=1.5x;OD:y=﹣0.5x,
設(shè)P(a,b),M(﹣2m,m),N(n,1.5n),(m>0,n>0),
P到OC、OD的距離分別為、,聯(lián)立解方程組,得,
∵P為MN的中點(diǎn),所以,得m,n,所以,
∴d=|OM|.
(2)由M,N,P 三點(diǎn)共線,得,5m+6.5n=4mn,即,
S△OMN,
(2m+n),當(dāng)且僅當(dāng)5n2=13m2成立,
所以△OMN面積最小為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下四個(gè)命題:
①“若,則”的逆否命題為真命題
②“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件
③若為假命題,則,均為假命題
④對(duì)于命題:,,則為:,
其中真命題的個(gè)數(shù)是( )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,定義橢圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”為.
(1)求橢圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”的軌跡方程;
(2)如果橢圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”為,對(duì)于橢圓上的任意點(diǎn)及它的“伴隨點(diǎn)”,求的取值范圍;
(3)當(dāng), 時(shí),直線交橢圓于, 兩點(diǎn),若點(diǎn), 的“伴隨點(diǎn)”分別是, ,且以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣,某校開展了為期一年的“弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化,閱讀經(jīng)典名著”活動(dòng). 活動(dòng)后,為了解閱讀情況,學(xué)校統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩組各10名學(xué)生的閱讀量(單位:本),統(tǒng)計(jì)結(jié)果用莖葉圖記錄如下,乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊,無法確認(rèn),在圖中以a表示.
(Ⅰ)若甲組閱讀量的平均值大于乙組閱讀量的平均值, 求圖中a的所有可能取值;
(Ⅱ)將甲、乙兩組中閱讀量超過15本的學(xué)生稱為“閱讀達(dá)人”. 設(shè),現(xiàn)從所有“閱讀達(dá)人”里任取3人,求其中乙組的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(Ⅲ)記甲組閱讀量的方差為. 在甲組中增加一名學(xué)生A得到新的甲組,若A的閱讀量為10,則記新甲組閱讀量的方差為;若A的閱讀量為20,則記新甲組閱讀量的方差為,試比較,,的大小.(結(jié)論不要求證明)
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【題目】團(tuán)體購買公園門票,票價(jià)如下表:
購票人數(shù) | 1~50 | 51~100 | 100以上 |
門票價(jià)格 | 13元/人 | 11元/人 | 9元/人 |
現(xiàn)某單位要組織其市場部和生產(chǎn)部的員工游覽該公園,這兩個(gè)部門人數(shù)分別為a和b,若按部門作為團(tuán)體,選擇兩個(gè)不同的時(shí)間分別購票游覽公園,則共需支付門票費(fèi)為1290元;若兩個(gè)部門合在一起作為一個(gè)團(tuán)體,同一時(shí)間購票游覽公園,則需支付門票費(fèi)為990元,那么這兩個(gè)部門的人數(shù)____;____.
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【題目】如圖,在多面體中,底面為矩形,側(cè)面為梯形,,,.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)判斷線段上是否存在點(diǎn),使得平面平面?并說明理由.
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【題目】某中學(xué)為了組建一支業(yè)余足球隊(duì),在高一年級(jí)隨機(jī)選取50名男生測量身高,發(fā)現(xiàn)被測男生的身高全部在到之間,將測量結(jié)果按如下方式分成六組:第1組,第2組,…,第6組,如圖是按上述分組得到的頻率分布直方圖,以頻率近似概率.
(1)若學(xué)校要從中選1名男生擔(dān)任足球隊(duì)長,求被選取的男生恰好在第5組或第6組的概率;
(2)試估計(jì)該校高一年級(jí)全體男生身高的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)與中位數(shù);
(3)現(xiàn)在從第5與第6組男生中選取兩名同學(xué)擔(dān)任守門員,求選取的兩人中最多有1名男生來自第5組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),函數(shù)與的定義域都是.
(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;
(2)求證:函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),且;
(3)用表示,的最小值,設(shè),,若函數(shù)在上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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