Question

【題目】如圖，過頂點(diǎn)在原點(diǎn)、對稱軸為軸的拋物線上的點(diǎn)作斜率分別為，的直線，分別交拋物線于，兩點(diǎn).

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；

（2）若，證明：直線恒過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為；（2）證明見解析.

【解析】

（1）設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，進(jìn)而可求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；利用準(zhǔn)線的計算方法，即可求出準(zhǔn)線方程；

（2）求出直線和直線的方程，分別與拋物線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)，利用斜率公式求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式方程寫出直線的方程，并借助，即可求得結(jié)果.

（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，

將代入得，解得，

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為.

（2）證明：因為直線過點(diǎn)，斜率為，

利用點(diǎn)斜式方程，可得直線的方程為，即，

因為直線過點(diǎn)，斜率為，

利用點(diǎn)斜式方程，可得直線的方程為，即，

聯(lián)立，消去y得，.

解得或，

因此點(diǎn)

同理可得.

于是直線的斜率

，又，.

所以直線的方程為，

即，

故直線恒過定點(diǎn).