【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣ .
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,并加以證明;
(2)用定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù);
(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,a]上的最大值與最小值之和不小于 ,求a的取值范圍.
【答案】
(1)解:函數(shù) 是奇函數(shù).
∵定義域:(﹣∞,0)∪(0,+∞),定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,
且
∴函數(shù) 是奇函數(shù)
(2)證明:設(shè)任意實(shí)數(shù)x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2
則 ﹣( )═
═ = =
∵x1<x2,x1,x2∈[1,+∞)
∴x1﹣x2<0,x1x2>0,x1x2+1>0,
∴ <0
∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù)
(3)解:∵[2,a][1,+∞)
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,a]上也為增函數(shù).
∴ ,
若函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,a]上的最大值與最小值之和不小于 ,
則
解得a≥4,
∴a的取值范圍是[4,+∞)
【解析】(1)判斷出函數(shù)是奇函數(shù)再證明,確定函數(shù)定義域且關(guān)于原點(diǎn)對稱,利用奇函數(shù)的定義可判斷;(2)判斷函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),證明按照取值、作差、變形定號、下結(jié)論步驟即可;(3)根據(jù)(2)的結(jié)論得函數(shù)在區(qū)間[2,a]上的單調(diào)性,再求出最大值、最小值,根據(jù)條件列出不等式求出a得范圍.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,需要了解在公共定義域內(nèi),偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù);偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性:一個為偶就為偶,兩個為奇才為奇;一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )離y軸最近的零點(diǎn)與最大值均在拋物線y=﹣ x2+ x+1上,則f(x)=( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作,約成書于四、五世紀(jì),也就是大約一千五百年前,傳本的《孫子算經(jīng)》共三卷,卷中有一問題:“今有方物一束,外周一匝有三十二枚,問積幾何?”該著作中提出了一種解決問題的方法:“重置二位,左位減八,余加右位,至盡虛加一,即得.”通過對該題的研究發(fā)現(xiàn),若一束方物外周一匝的枚數(shù)是8的整數(shù)倍時,均可采用此方法求解,如圖,是解決這類問題的程序框圖,若輸入,則輸出的結(jié)果為( )
A. 120 B. 121 C. 112 D. 113
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=1,AB=2,M是PB的中點(diǎn).
(1)證明:面PAD⊥面PCD;
(2)求直線AC與PB所成角的余弦值;
(3)求二面角A﹣MC﹣B的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)x,y滿足f(x)+f(y)=f(x+y)+3,f(3)=6,當(dāng)x>0 時,f(x)>3,那么,當(dāng)f(2a+1)<5時,實(shí)數(shù)a的取值范圍是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2 ﹣ ,則使得f(2x)>f(x﹣3)成立的x的取值范圍是( )
A.(﹣∞,﹣3)
B.(1,+∞)
C.(﹣3,﹣1)
D.(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)題意解答
(1)求定積分 |x2﹣2|dx的值;
(2)若復(fù)數(shù)z1=a+2i(a∈R),z2=3﹣4i,且 為純虛數(shù),求|z1|
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,曲線上任意一點(diǎn)滿足;曲線上的點(diǎn)在軸的右邊且到的距離與它到軸的距離的差為1.
(1)求的方程;
(2)過的直線與相交于點(diǎn),直線分別與相交于點(diǎn)和.求的取值范圍.
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