Question

函數(shù)f（x）對任意實(shí)數(shù)x均有f（x+2）=kf（x），其中k為已知的正常數(shù)，且f（x）在區(qū)間[0，2]上有表達(dá)式f（x）=x（x-2）．
（1）求f（-1），f（2.5）的值；
（2）求f（x）在[-2，2]上的表達(dá)式，并寫出函數(shù)f（x）在-2，2上的單調(diào)區(qū)間（不需證明）；
（3）求函數(shù)f（x）在[-2，2]上的最小值，并求出相應(yīng)的自變量的值．

Answer 1

分析：（1）利用f（x+2）=kf（x），進(jìn)行賦值，即可求f（-1），f（2.5）的值；
（2）設(shè)-2≤x＜0，利用f（x）在區(qū)間[0，2]上有表達(dá)式f（x）=x（x-2），f（x+2）=kf（x），可求函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）由函數(shù)f（x）在[-2，2]上的單調(diào)性知，f（x）在x=-1或x=1處取得極小值，分類討論，即可求得函數(shù)的最小值．

解答：解：（1）∵f（x+2）=kf（x），∴f（-1）=

1

k

f（-1+2）=

1

k

f（1）=-

1

k

，
f（2.5）=f（0.5+2）=kf（0.5）=k×

1

2

×（

1

2

-2）=-

3

4

k；
（2）設(shè)-2≤x＜0，則0≤x+2＜2．
∵f（x）在區(qū)間[0，2]上有表達(dá)式f（x）=x（x-2），
∴f（x+2）=x（x+2），
∵f（x+2）=kf（x），∴kf（x）=x（x+2）
∴f（x）=

1

k

x（x+2）
∴f（x）=

1 k x(x+2)，-2≤x＜0 x(x-2)，0≤x≤2

∵k＞0，根據(jù)二次函數(shù)的圖象得f（x0的減區(qū)間為[-2，-1]，[0，1]，增區(qū)間為[-1，0]，[1，2]
（3）由函數(shù)f（x）在[-2，2]上的單調(diào)性知，f（x）在x=-1或x=1處取得極小值．f（-1）=-

1

k

，f（1）=-1．
故有：①當(dāng)-

1

k

＞-1，即k＞1時(shí)，f（x）在x=1處取得最小值-1，
②當(dāng)-

1

k

=-1，即k=1時(shí)，f（x）在x=±1處都取得最小值-1．
③當(dāng)-

1

k

＜-1，即0＜k＜1時(shí)，f（x）在x=-1處取得最小值-

1

k

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)最值的討論，考查學(xué)生分析解決問題的能力．