Question

【題目】已知數(shù)列{an}，an≥0，a1=0，an+12+an+1﹣1=an2（n∈N）．記Sn=a1+a2+…+an ． Tn= + +…+ ．求證：當(dāng)n∈N*時(shí)
（1）0≤an＜an+1＜1；
（2）Sn＞n﹣2；
（3）Tn＜3．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因?yàn)閍n+12+an+1﹣1=an2，（1）所以an2+an﹣1=an﹣12，（2）

，

所以an+1﹣an與an﹣an﹣1同號(hào)，即與a2﹣a1一致．

因?yàn)? ，且a2﹣a1＞0，

∴an+1﹣an＞0，

∵ ，

∴ ，

即an+1＜1

綜上所述：0≤an＜an+1＜1對(duì)任何n∈N*都成立．

（2）證明：由 ，k=1，2，…，n﹣1（n≥2），

得 ．

因?yàn)閍1=0，所以 ．

∵an＜1，

所以Sn＞n﹣2．

（3）證明：由 ，得

所以 ，

于是 ，

故當(dāng)n≥3時(shí)， ，

又因?yàn)門(mén)1＜T2＜T3，

所以Tn＜3．

【解析】（1）先證明an+1﹣an＞0，再證明an+1＜1．（2）由ak+12+ak+1﹣1=ak2 ， 對(duì)k取1，2，…，n﹣1時(shí)的式子相加得Sn ， 最后對(duì)Sn進(jìn)行放縮即可證得．（3）利用放縮法由 ，得 ，即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)，掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．