已知:橢圓C的中心在原點,焦點在x軸上,焦距為8,且經(jīng)過點(0,3)
(1)求此橢圓的方程
(2)若已知直線l:4x-5y+40=0,問:橢圓C上是否存在一點,使它到直線l的距離最小?最小距離是多少?
分析:(1)依題意可知c,根據(jù)經(jīng)過點(0,3)求得b,進而根據(jù)a2=b2+c2求得a2,則橢圓方程可得;
(2)由直線l的方程與橢圓的方程可以知道,直線l與橢圓不相交,將直線l:4x-5y+40=0平移,使得其與橢圓相切,則可知切線與直線l的距離最小或最大,故設(shè)直線m平行于直線l,則直線m的方程可以寫成4x-5y+k=0與橢圓方程聯(lián)立,利用判別式為0可求.
解答:解:(1)由題意知,2c=8,c=4,
∴b=3,
從而a2=b2+c2=25,
∴方程是
x2
25
+
y 2
9
=1
…(4分)
(2)由直線l的方程與橢圓的方程可以知道,直線l與橢圓不相交
設(shè)直線m平行于直線l,則直線m的方程可以寫成4x-5y+k=0(1)
由方程組
4x-5y+k=0
x2
25
+
y 2
9
=1

消去y,得25x2+8kx+k2-225=0(2)
令方程(2)的根的判別式△=0,得64k2-4×25(k2-225)=0(3)
解方程(3)得k1=25或k2=-25,
∴當k1=25時,直線m與橢圓交點到直線l的距離最近,此時直線m的方程為4x-5y+25=0
直線m與直線l間的距離d=
|40-25|
42+52
=
15
41
41

所以,最小距離是
15
41
41
.…(8分)
點評:本題以橢圓為載體,考查橢圓的標準方程,考查點線距離,考查學生分析解決問題的能力,解題的關(guān)鍵是將直線l:4x-5y+40=0平移,使得其與橢圓相切,則可知切線與直線l的距離最小或最大.
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3
2
,右焦點為F(
3
,0)

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓的上頂點為A,在橢圓C上是否存在點P,使得向量
OP
+
OA
FA
共線?若存在,求直線AP的方程;若不存在,簡要說明理由.

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