Question

【題目】求函數(shù)y= 的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】解：根據(jù)題意，函數(shù)的定義域顯然為（﹣∞，+∞）．
令u=f（x）=3+2x﹣x2=4﹣（x﹣1）2≤4．
∴y=3u是u的增函數(shù)，
當(dāng)x=1時(shí)，ymax=f（1）=81，而y= ＞0．
∴0＜3u≤34 ， 即值域?yàn)椋?，81]．
當(dāng)x≤1時(shí)，u=f（x）為增函數(shù)，y=3u是u的增函數(shù)，
由x越大推出u越大，u越大推出y越大
即x越大y越大
∴即原函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，1]；
其證明如下：
任取x1 ， x2∈（﹣∞，1]且令x1＜x2
則 = ÷ = = =

∵x1＜x2 ， x1 ， x2∈（﹣∞，1]
∴x1﹣x2＜0，2﹣x1﹣x2＞0
∴（x1﹣x2）（2﹣x1﹣x2）＜0
∴ ＜1
∴f（x1）＜f（x2）
∴原函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，1]
當(dāng)x＞1時(shí)，u=f（x）為減函數(shù)，y=3u是u的增函數(shù)，
由x越大推出u越小，u越小推出y越小，
即x越大y越小
∴即原函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為[1，+∞）．
證明同上．
【解析】根據(jù)題意，定義域的求解易知為（﹣∞，+∞），值域的求解通過換元法將3+2x﹣x2換成u，通過二次函數(shù)的知識求得u的范圍為（﹣∞，4]，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=3u的單調(diào)性即可求解
利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的特點(diǎn)（根據(jù)同增異減口訣，先判斷內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性，再判斷外層函數(shù)單調(diào)性，在同一定義域上，若兩函數(shù)單調(diào)性相同，則此復(fù)合函數(shù)在此定義域上為增函數(shù)，反之則為減函數(shù)）判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在根據(jù)定義：（就是定義域內(nèi)的任意取x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 比較f（x1），f（x2）的大小，或f（x1）＜f（x2）則是增函數(shù)；反之則為減函數(shù)）證明即可
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握0<a<1時(shí):在定義域上是單調(diào)減函數(shù);a>1時(shí):在定義域上是單調(diào)增函數(shù)才能正確解答此題．