Question

已知函數(shù)f（x）=log₂|x|．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域及f（-

2

）的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并給予證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)成立的條件即可求函數(shù)f（x）的定義域及f（-

2

）的值；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶數(shù)的定義即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷和證明．

解答： 解：（1）依題意得|x|＞0，解得x≠0，（1分）
所以函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）．（2分），
f(-

2

)=log2|-

2

|=log22

1

2

=

1

2

．（4分）
（2）設(shè)x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
則-x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．f（-x）=log₂|-x|=log₂|x|=f（x），（6分）
所以f（-x）=f（x）．（7分）
所以函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．（8分）
（3）f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)．（9分）
設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=log2|x1|-log2|x2|=log2

x1

x2

．（10分）
因?yàn)?＜x₁＜x₂，所以

x1

x2

＜1．（11分）
所以log2

x1

x2

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)．（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和圖象，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查函數(shù)的性質(zhì)是應(yīng)用．