Question

如圖，已知平行四邊形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=

3

．
（1）求證：AC⊥BF；
（2）求二面角F-BD-A的余弦值；
（3）求點A到平面FBD的距離．

Answer 1

分析：（1）在△ACD中，由題設(shè)條件推導(dǎo)出CD⊥CA，由ABCD是平行四邊形，知CA⊥AB，由直線垂直于平面的性質(zhì)得到AC⊥BF．
（2）以CD為x軸，CA為y軸，CE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題設(shè)條件分別求出平面ABD和平面FBD的法向量，用向量法能夠求出二面角F-BD-A的余弦值．
（3）求出向量

AD

和平面FBD的法向量，用向量法能夠求出點A到平面FBD的距離．

解答：（本小題滿分12分）
解：（1）在△ACD中，AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos60°=4+1-2×2×1×

1

2

=3，
∴AC²+CD²=AD²，∴CD⊥CA，
∵ABCD是平行四邊形，
∴CD∥AB，
∴CA⊥AB，
∵矩形ACEF中，CA⊥AF，
∴CA⊥平面ABF，
∵BF?平面ABF，
∴AC⊥BF．
（2）∵平行四邊形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
∴CE⊥平面ABCD，
以CD為x軸，CA為y軸，CE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
得C（0，0，0），D（1，0，0），A（0，

3

，0），F(xiàn)（0，

3

，

3

），B（-1，

3

，0），
∴

FB

=(-1，0，-

3

)，

FD

=(1，-

3

，-

3

)，
平面ABD的法向量

n

=(0，0，1)，設(shè)平面FBD的法向量

m

=(x，y，z)，
則

m

•

FB

=0，

m

•

FD

=0，
∴

-x- 3 z=0 x- 3 y- 3 z=0

，解得

m

=(-

3

，-2，1)，
設(shè)二面角F-BD-A的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

1

1× 3+4+1

|=

2

4

．
故二面角F-BD-A的余弦值為

2

4

．
（3）設(shè)點A到平面FBD的距離為d，
∵

AD

=(-1，-

3

，0)，平面FBD的法向量

m

=(-

3

，-2，1)，
∴d=

| AD • m |

| m |

=

3 3

2 2

=

3 6

4

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明、二面角的余弦值的求法、點到平面的距離．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的合理運(yùn)用．