【題目】設(shè)集合M={m|mZ,|m|≤2018},M的子集S滿(mǎn)足對(duì)S中任意3個(gè)元素a,b,c不必不同),都有a+b+c≠0.求集合S的元素個(gè)數(shù)的最大值.

【答案】20

【解析】

集合S的元素個(gè)數(shù)的最大值為2018.

S={s|1≤s≤2018,sZ},顯然集合S符合要求,且|S|=2018.

另一方面,設(shè)S是滿(mǎn)足題設(shè)條件的集合,顯然否則0+0+0=0).設(shè)S中的所有正整數(shù)構(gòu)成集合A,S中的所有負(fù)整數(shù)構(gòu)成集合B.

,則;若,則.

下面考慮A、B非空的情形.

對(duì)于集合X, Y,,.

由題設(shè)可知,否則,設(shè)x0∈(A+B)∩(-S),則存在aAbB,-c∈-S使得a+b=x0,-c=x0.于是,存在aS,bS,使得a+b+c=0).A+B∈{x|xZ|x|<2017}(事實(shí)上,A中元素≤2018,B中元素≤-1,于是A+B中元素≤2017;同理,A+B中元素≥-1027.).

設(shè)集合A中元素為a1,a2,…,ak,集合B中元素為b1,b2,…,bl,且a1<a2<…<ak,b1<b2<…<bl.

a1+b1<a2+b1<a3+b1<…<ak+bl <ak+b2<…< ak+bl.

A+B中至少有k+l-1個(gè)元素|A+B|≥k+l-1=|S|-1.

結(jié)合,,,可得,4037=|M|≥|A+B|+|-S|=|A+B|+|S|≥|S|-1+|S|.

∴|S|≤2019.

|S|=2019,|A+B|+|-S|=4037=|M|.

∴(A+B)∪(-S)=M.

又由,2018∈S,-2018∈S.

對(duì)于k=1,2,3,…,1009,k2018-k中至少有一個(gè)不屬于S,-k-2018+k中也至少有一個(gè)不屬于S.因此,|A|≤1009,|B|≤1009.

∴2019=|S|=|A|+|5|≤1009+1009=2018,矛盾.

因此,.

綜上可得,.

綜上所述,集合S的元素個(gè)數(shù)的最大值為2018.

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