【題目】已知的三頂點坐標分別為,,.
(1)求的外接圓圓M的方程;
(2)已知動點P在直線上,過點P作圓M的兩條切線PE,PF,切點分別為E,F.
①記四邊形PEMF的面積分別為S,求S的最小值;
②證明直線EF恒過定點.
【答案】(1) (2) ①4;②定點,證明見解析
【解析】
(1)設圓M的方程為(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2(r>0),分別代入A,B,C三點,解方程可得a,b,r,可得所求圓M的方程;
(2)①由三角形的面積公式可得S=|PE||EM|=2|PE|,結合勾股定理和點到直線的距離公式,可得所求最小值;
②判斷四點P,E,M,F共圓,求得以PM為直徑的圓的方程和圓M方程,相減可得直線EF的方程,再由直線恒過定點的求法,可得所求定點.
(1)設的外接圓圓M的標準方程為,根據題意有
故所求的圓M的方程為
(2)①,故當最小時,S最。
的最小值即為點到直線的距離
故
②由圓的切線性質有,則,,,,四點共圓,該圓是以PM為直徑的圓,設圓心為點N.點P是直線上一動點,設,則圓N的方程為
由消去,得直線EF的方程為
即,令得
故直線EF恒過定點.
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【題目】設數列的前n項和為,對任意的正整數n,都有成立,記.
(1)求數列與數列的通項公式;
(2)求證:①對恒成立.②對恒成立,其中為數列的前n項和.
(3)記,為的前n項和,求證:對任意正整數n,都有.
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【題目】如圖,某小區(qū)準備將閑置的一直角三角形地塊開發(fā)成公共綠地,圖中.設計時要求綠地部分(如圖中陰影部分所示)有公共綠地走道,且兩邊是兩個關于走道對稱的三角形(和).現考慮方便和綠地最大化原則,要求點與點均不重合,落在邊上且不與端點重合,設.
(1)若,求此時公共綠地的面積;
(2)為方便小區(qū)居民的行走,設計時要求的長度最短,求此時綠地公共走道的長度.
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【題目】某中學從甲、乙兩個班中各選出7名學生參加數學競賽,他們取得的成績(滿分100分)的莖葉圖如圖所示,其中甲班學生成績的眾數是83,乙班學生成績的平均數是86,則的值為( )
A.7B.8C.9D.10
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【題目】如圖,在棱長為的正方體中,,分別是和的中點.
()求異面直線與所成角的余弦值.
()在棱上是否存在一點,使得二面角的大小為?若存在,求出的長;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知拋物線,過點的直線與拋物線相切,設第一象限的切點為.
(1)求點的坐標;
(2)若過點的直線與拋物線相交于兩點,圓是以線段為直徑的圓過點,求直線的方程.
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【題目】在△ABC中,a,b,c分別為內角A,B,C的對邊,且asin B=-bsin.
(1)求A;
(2)若△ABC的面積S=c2,求sin C的值.
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