Question

【題目】設(shè)集合，是正數(shù)，且.試求交集的元素個數(shù)的最大可能值.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

不妨設(shè)，且和都是正整數(shù)（），但等比數(shù)列，，，…，的各項不一定都是整數(shù)，則有

.

顯然，（表示集合的元素個數(shù)）.下面對公比分別為有理數(shù)和無理數(shù)進行討論.

（1）設(shè)（與互素，且）下面再對分三種情況進行討論.

當(dāng)時，由知.由得，，從而，.

當(dāng)時，由知.由得，，從而.

另一方面，確實存在公比為的6項等比數(shù)列：

128，192，288，432，648，972.（如何構(gòu)造的？）

當(dāng)時，，.因為與互素，所以，從而.由此即得，，.

故當(dāng)為有理數(shù)時，的最大可能值是6.

（2）設(shè)為無理數(shù).由為有理數(shù)知為有理數(shù)，所以存在最小的正整數(shù)，使為有理數(shù)（顯然）.設(shè)被除所得余數(shù)為，即（和為非負(fù)整數(shù)，且）.由知為有理數(shù)，再由的最小性知只能有，即.

記，則由上可知在中，只須用來代替（因為中其他的項為無理數(shù)），是公比為有理數(shù)，首項為，末項為的等比數(shù)列，這就化歸為公比為有理數(shù)的情況（1）了.

綜合上述即知：的最大可能值是6.

注：本題是根據(jù)加拿大第四屆（1972年）奧林匹克試題第10題改編的.原題為：在公比大于1的等比數(shù)列中，最多有幾項是在100和1000之間的整數(shù)？這是一個佳題.在[1]和別的資料的解答中，都事先假定了等比數(shù)列的各項都為整數(shù)，其實這樣是不嚴(yán)密的（盡管答案是對的），這里給出的解答試圖糾正這一不妥之處.