Question

在直角坐標(biāo)平面中，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，兩動(dòng)點(diǎn)M、N滿足，向量與共線．
（1）求△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)P（0，a）的直線與（1）的軌跡相交于E、F兩點(diǎn)，求的取值范圍．
（3）若G（-a，0），H（2a，0），θ為C點(diǎn)的軌跡在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，則是否存在常數(shù)λ（λ＞0），使得∠QHG=λ∠QGH恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）設(shè)C（x，y），由知，
∴M是△ABC的重心，∴．
∵且向量與共線，∴N在邊AB的中垂線上，
∵，∴，
又∵，∴，化簡(jiǎn)得，
即所求的軌跡方程是．
（2）設(shè)E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），過(guò)點(diǎn)P（0，a）的直線方程為y=kx+a，
代入得（3-k²）x²-2akx-4a²=0，
∴，且△=4a²k²+16a²（3-k²）＞0，解得k²＜4．
∴k²-3＜1，則或，
∴
=，
則的取值范圍是（-∞，4a²）∪（20a²，+∞）．
（3）設(shè)Q（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），則，即y₀²=3（x₀²-a₀²）．
當(dāng)QH⊥x軸時(shí)，x₀=2a，y₀=3a，∴∠QGH=，即∠QHG=2QGH，故猜想λ=2．
當(dāng)QH不垂直x軸時(shí)，tan∠QHG=QGH=，
∴tan2∠QGH==．
又2∠QGH與∠QHG同在內(nèi)，
∴2∠QGH=∠QHG．
故存在λ=2，使2∠QGH=∠QHG恒成立．
分析：（1）先設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)△ABC的重心的充要條件表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A和B坐標(biāo)以及距離的關(guān)系求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)之間的距離公式代入，進(jìn)行化簡(jiǎn)求出點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）由題意設(shè)出點(diǎn)E、F和直線的方程，聯(lián)立直線方程和軌跡方程，消去y得到關(guān)于x的二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理列出兩根和以及積的式子，由判別式的符號(hào)求出k²-3的范圍，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列出關(guān)于k的式子，根據(jù)求出的范圍，即求出的范圍；
（3）設(shè)出Q的坐標(biāo)并代入軌跡方程，由特殊情況QH⊥x軸求出λ的值，根據(jù)點(diǎn)G和H坐標(biāo)求出兩個(gè)角的正切值，由兩個(gè)角的范圍和正切值進(jìn)行判斷是否成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程的求法以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)，利用△ABC的重心的充要條件和距離公式求出軌跡方程，主要利用解析法中的設(shè)而不求思想，即根據(jù)題意列出方程組，根據(jù)韋達(dá)定理和判別式列出式子，把式子整體代入進(jìn)行化簡(jiǎn)，此題綜合性強(qiáng)，涉及的知識(shí)多，考查了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．