(2013•寧波模擬)在直角坐標(biāo)平面中,△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(-1,0),B(1,0),平面內(nèi)兩點(diǎn)G、M同時(shí)滿足下列條件:
(1)
GA
+
GB
+
GC
=
O

(2)|
MA
|=|
MB
|=|
MC
|

(3)
GM
AB

則△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程為( 。
分析:由題目給出的條件,分別得到G為三角形ABC的重心,M為三角形ABC的外心,設(shè)出G點(diǎn)坐標(biāo),由GM∥AB,可知M和G具有相同的縱坐標(biāo),由重心坐標(biāo)公式得到C點(diǎn)的坐標(biāo),然后由M到A和C的距離相等列式可得G的軌跡方程,利用代入法轉(zhuǎn)化為C的軌跡方程.
解答:解:由
GA
+
GB
+
GC
=
0
得,G為重心,
MA
=
MB
=
MC
得,M為外心.
所以M點(diǎn)在y軸上(M到AB兩點(diǎn)距離相等).
GM
AB
,則GM∥AB.
設(shè)M為(0,y),G為(x,y)(y≠0),由重心坐標(biāo)公式得C為(3x,3y).
再由MA=MC,得
12+y2
=
(3x)2+(y-3y)2

整理得:9x2+3y2=1①.
再設(shè)c(x',y'),由3x=x',3y=y'得x=
x′
3
,y=
y
3

代入①得:(x)2+
(y)2
3
=1

所以△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2+
y2
3
=1  (y≠0)

故選C.
點(diǎn)評(píng):本題考查了軌跡方程,解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題目給出的條件判出G點(diǎn)是三角形ABC的重心,M為外心,考查了三角形的重心坐標(biāo)公式,訓(xùn)練了代入法求曲線方程,此題屬中檔題.
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(2013•寧波模擬)如圖,橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
2
2
,x軸被曲線C2:y=x2-b截得的線段長等于C1的短軸長.C2與y軸的交點(diǎn)為M,過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于點(diǎn)A、B,直線MA,MB分別與C1相交于點(diǎn)D、E.
(1)求C1、C2的方程;
(2)求證:MA⊥MB.
(3)記△MAB,△MDE的面積分別為S1、S2,若
S1
S2
,求λ的取值范圍.

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(2013•寧波模擬)若方程x2-5x+m=0與x2-10x+n=0的四個(gè)根適當(dāng)排列后,恰好組成一個(gè)首項(xiàng)1的等比數(shù)列,則m:n值為( 。

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(2013•寧波模擬)已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),滿足
MF1
MF2
的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部,則橢圓離心率的取值范圍是
(O,
2
2
(O,
2
2

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(2013•寧波模擬)已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],其中e是自然常數(shù),a∈R.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若f(x)≥3恒成立,求a的取值范圍.

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(2013•寧波模擬)等差數(shù)列{an}中,2a1+3a2=11,2a3=a2+a6-4,其前n項(xiàng)和為sn
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿足 bn=
1
sn+1-1
,其前n項(xiàng)和為Tn,求證Tn
3
4

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