Question

（1）已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，求cos（β-γ）的值．
（2）若sinα+sinβ=

2

2

，求cosα+cosβ的取值范圍．

Answer 1

分析：1、分別由已知解出sinα和cosα，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系得到平方和為1，代入利用兩角差的余弦函數(shù)公式化簡可得cos（β-γ）；
2、可設(shè)t=cosα+cosβ，對已知和所設(shè)的兩邊平方相加得到（sinα+sinβ）²+（cosα+cosβ）²=t²+

1

2

，化簡可得2cos（α-β）=t²-

3

2

，由余弦函數(shù)的值域得到關(guān)于t的不等式，求出t的解集即可．

解答：解：（1）sinβ+sinγ=-sinα，cosβ+cosγ=-cosα
（sinβ+sinγ）²+（cosβ+cosγ）²=1
2+2cos（β-γ）=1，cos（β-γ）=-

1

2

．

（2）令cosα+cosβ=t，則
（sinα+sinβ）²+（cosα+cosβ）²=t²+

1

2

2+2cos（α-β）=t²+

1

2

，2cos（α-β）=t²-

3

2

因?yàn)?2≤t²-

3

2

≤2，得到-

1

2

≤t²≤

7

2

，
所以-

14

2

≤t≤

14

2

點(diǎn)評：此題要求學(xué)生靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)公式及兩角和與差的余弦函數(shù)公式進(jìn)行化簡求值．學(xué)生會(huì)根據(jù)第一問的思路解決第二問中的范圍是本題的突破點(diǎn)．