Question

【題目】 設(shè)函數(shù)，其中.

（Ⅰ）若，討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若，

（i）證明恰有兩個(gè)零點(diǎn)

（ii）設(shè)為的極值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，且，證明.

Answer 1

【答案】（I）在內(nèi)單調(diào)遞增.；

（II）（i）見解析；（ii）見解析.

【解析】

（I）；首先寫出函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上的符號，從而得到結(jié)果；

（II）（i）對函數(shù)求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求得極值的符號，從而確定出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，得到結(jié)果；

（ii）首先根據(jù)題意，列出方程組，借助于中介函數(shù)，證得結(jié)果.

（I）解：由已知，的定義域?yàn)?/span>，

且，

因此當(dāng)時(shí)，，從而，

所以在內(nèi)單調(diào)遞增.

（II）證明：（i）由（I）知，，

令，由，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，

又，且，

故在內(nèi)有唯一解，

從而在內(nèi)有唯一解，不妨設(shè)為，

則，當(dāng)時(shí)，，

所以在內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，

所以在內(nèi)單調(diào)遞減，

因此是的唯一極值點(diǎn).

令，則當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)單調(diào)遞減，

從而當(dāng)時(shí)，，所以，

從而，

又因?yàn)?/span>，所以在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，

又在內(nèi)有唯一零點(diǎn)1，從而，在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn).

（ii）由題意，，即，

從而，即，

以內(nèi)當(dāng)時(shí)，，又，故，

兩邊取對數(shù)，得，

于是，整理得，