Question

已知雙曲線x²-2y²=2的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF₁|+|PF₂|=4．
（I）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)D（，0），過(guò)F₂且不垂直于坐標(biāo)軸的動(dòng)直線l交軌跡E于A、B兩點(diǎn)，若DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P滿足|PF₁|+|PF₂|=4，利用橢圓定義，可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為橢圓，且該橢圓以F₁、F₂為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為4，從而可求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，利用向量知識(shí)，即可得到結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）雙曲線的方程可化為，則|F₁F₂|=2  
∵|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2 
∴P點(diǎn)的軌跡E是以F₁、F₂為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為4的橢圓         
由a=2，c=，∴b=1
∴所求方程為；
（Ⅱ）設(shè)l的方程為，則k≠0
代入橢圓方程可得（1+4k²）x²-k²x+12k²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-）=
∵以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，
∴（）⊥
∴（）•=0
∴--=0
∴
∴l(xiāng)的方程為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．