【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且.
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若,證明:.
【答案】(1) (2)證明見解析
【解析】
(1)在上有兩個(gè)不等的零點(diǎn).設(shè),由研究在上的單調(diào)性和極值,由極值確定有零點(diǎn)個(gè)數(shù),得的范圍;
(2)由(1),,.,,要證,只需證,由得,然后令,把用表示,這樣就轉(zhuǎn)化為的函數(shù),通過研究的函數(shù)的單調(diào)性和最值得出結(jié)論.
(1)的定義域?yàn)?/span>,
設(shè),則在內(nèi)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),
令得,令得
∴在遞增,在遞減
∴
又當(dāng)時(shí),,在沒有兩個(gè)零點(diǎn)
當(dāng)時(shí),
(令,因?yàn)?/span>,所以在遞減,
)
∴使得,使得
當(dāng)時(shí),,∴遞減
當(dāng)時(shí),,∴遞增
當(dāng)時(shí),,∴遞增;
當(dāng)時(shí),,遞減
∴分別為的極小值與極大值點(diǎn)
綜上,的取值范圍為
(2)由(1)知,∴,∴
∴t時(shí),∴
要證,只需證
∵由(1)得
∴得,即
設(shè),則,∴,∴
∴
下面說明
即,設(shè)
∴
∴遞增,∴即
∴成立
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的離心率為,點(diǎn)A為該橢圓的左頂點(diǎn),過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓交于B,C兩點(diǎn),當(dāng)軸時(shí),三角形ABC的面積為18.
求橢圓的方程;
如圖,當(dāng)動(dòng)直線BC斜率存在且不為0時(shí),直線分別交直線AB,AC于點(diǎn)M、N,問x軸上是否存在點(diǎn)P,使得,若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程(為參數(shù)).直線的參數(shù)方程(為參數(shù)).
(Ⅰ)求曲線在直角坐標(biāo)系中的普通方程;
(Ⅱ)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,當(dāng)曲線截直線所得線段的中點(diǎn)極坐標(biāo)為時(shí),求直線的傾斜角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一矩形硬紙板材料(厚度忽略不計(jì)),一邊長(zhǎng)為6分米,另一邊足夠長(zhǎng).現(xiàn)從中截取矩形(如圖甲所示),再剪去圖中陰影部分,用剩下的部分恰好能折卷成一個(gè)底面是弓形的柱體包裝盒(如圖乙所示,重疊部分忽略不計(jì)),其中是以為圓心、的扇形,且弧,分別與邊, 相切于點(diǎn), .
(1)當(dāng)長(zhǎng)為1分米時(shí),求折卷成的包裝盒的容積;
(2)當(dāng)的長(zhǎng)是多少分米時(shí),折卷成的包裝盒的容積最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為BC,AC的中點(diǎn),AB=BC.
求證:(1)A1B1∥平面DEC1;
(2)BE⊥C1E.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)射線與曲線分別交于兩點(diǎn)(異于原點(diǎn)),定點(diǎn),求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是圓的直徑,點(diǎn)是圓上異于,的點(diǎn),直線平面,,分別是,的中點(diǎn).
(Ⅰ)記平面與平面的交線為,試判斷直線與平面的位置關(guān)系,并加以證明;
(Ⅱ)設(shè),求二面角大小的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0),定義橢圓C上的點(diǎn)M(x0,y0)的“伴隨點(diǎn)”為.
(1)求橢圓C上的點(diǎn)M的“伴隨點(diǎn)”N的軌跡方程;
(2)如果橢圓C上的點(diǎn)(1,)的“伴隨點(diǎn)”為(,),對(duì)于橢圓C上的任意點(diǎn)M及它的“伴隨點(diǎn)”N,求的取值范圍;
(3)當(dāng)a=2,b=時(shí),直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),若點(diǎn)A,B的“伴隨點(diǎn)”分別是P,Q,且以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,求△OAB的面積.
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