Question

（本小題滿分14分）
設函數(shù),函數(shù)g(x)=分別在x=m和x=n處取得極值，且
m<n
（1）求的值
（2）求證：f(x)在區(qū)間[m,n]上是增函數(shù)
（3）設f(x)在區(qū)間[m,n]上的最大值和最小值分別為M和N,試問當實數(shù)a為何值時，M-N取得最小值？并求出這個最小值

Answer 1

解：（1）

（2）f(x)在區(qū)間[m,n]上為增函數(shù) ；
（3）a=0，f(n)=1a="0"     。

本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用求解函數(shù)的極值和函數(shù)的最值，以及函數(shù)的單調性問題的綜合運用。
（1）因為為的兩根為m,n
所以由韋達定理得 m+n=-a,mn=-1，從而解得。
（2）運用導數(shù)的工具性作用，判定函數(shù)在給定區(qū)間的導數(shù)是否恒大于等于零得到。
（3）根據(jù)由（2）可知M=f(n),N=f(m)

 
必有f(m)+f(n)=0，得到2mn(m+n)+2a="0" 所以a=0。
解：（1）因為的兩根為m,n
所以由韋達定理得 m+n=-a,mn=-1              ……（1分）


因為m≤x≤n,所以
因此f(x)在區(qū)間[m,n]上為增函數(shù)                  ……（8分）
（3）由（2）可知M=f(n),N=f(m)

 ……（10分）
必有f(m)+f(n)=0
又f(m)+f(n)=

整理可得 2mn(m+n)+2a="0" 所以a=0
又可驗證此時f(n)=1a="0"       ……（14分）