Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，滿足a_n+2=2a_n+1-a_n，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

1

n(12-an)

（n∈N^*），T_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N^*），求最大的整數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N^*，均有T_n＞

m

32

成立．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的定義即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出b_n的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和，解不等式即可．

解答： 解：（1）由題意，a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
∴{a_n}為等差數(shù)列，
設(shè)公差為d，
由題意得2=8+3d⇒d=-2，
∴a_n=8-2（n-1）=10-2n
（2）∵bn=

1

n(12-an)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

1

2

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)+(

1

n

-

1

n+1

)]=

n

2(n+1)

．
若Tn＞

m

32

對(duì)任意n∈N^*成立，即

n

n+1

＞

m

16

對(duì)任意n∈N^*成立，
∵

n

n+1

(n∈N*)的最小值是

1

2

，
∴

m

16

＜

1

2

，∴m的最大整數(shù)值是7
即存在最大整數(shù)m=7，使對(duì)任意n∈N^*，均有Tn＞

m

32

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，以及數(shù)列求和，利用裂項(xiàng)法以及等差數(shù)列的定義判斷數(shù)列是等差數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．