Question

（文）已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+2與直線4x-y+5=0切于點P（-1，1）．
（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）若x＞0時，不等式f（x）≥mx²-2x+2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

（理） 已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁底面邊長AB=2，側(cè)棱BB₁的長為4，過點B作B₁C的垂線交側(cè)棱CC₁于點E，交線段B₁C于點F．以D為原點，DA、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，如圖．
（Ⅰ）求證：A₁C⊥平面BED；
（Ⅱ）求A₁B與平面BDE所成角的正弦值的大小．

Answer 1

（文）解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax+b（2分）
由題意得：即（4分）
解得：a=b=-1．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=x³-x²-x+2
∵f（x）≥mx²-2x+2，
∴mx²≤x³-x²+x．
∵x＞0，
∴，即，（10分）
令（x＞0）∴，（12分）
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即x=1時，g（x）_min=1，（14分）
∴m≤1（15分）

（理）解：（Ⅰ）D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（2，0，4），B₁（2，2，4），C₁（0，2，4），D₁（0，0，4）（2分）
設(shè)E（0，2，t），則．
∵BE⊥B₁C，
∴．
∴t=1．
∴E（0，2，1），．（4分）
∵，
∴且，（6分）
∴且，
∴平面BDE．（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面BDE的一個法向量，（9分）
∵，
∴，（14分）
∴A₁B與平面BDE所成角的正弦值為．（16分）
分析：（文）（1）先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)f（x）與直線4x-y+5=0切于點P（-1，1），列出方程組即可求出a、b的值．
（2）先分離出參數(shù)m：，即令（x＞0）只須求得g（x）的最小值即可即可得到m的取值范圍．
（理）（Ⅰ）給出各點的坐標(biāo)，求出兩個向量 利用數(shù)量積公式即可證得垂直關(guān)系，從而即可求解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面BDE的一個法向量．，再代入A₁B與平面BDE所成角的余弦公式即可求值．
點評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用、向量語言表述線面的垂直、平行關(guān)系、用空間向量求直線與平面的夾角等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．