Question

已知（1+x）²ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ．
（1）求a₁+a₂+a₃+…+a_2n的值；
（2）求

1

a1

-

1

a2

+

1

a3

-

1

a4

+…+

1

a2n-1

-

1

a2n

的值．

Answer 1

考點：二項式定理,二項式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項式定理

分析：（1）在所給的等式中，令x=0得，a₀=1；令x=1得，a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_2n=2²ⁿ，從而求得a₁+a₂+a₃+…+a_2n的值．
（2）由題意可得a_k=

C

k 2n

，利用組合數(shù)的性質(zhì)可得

1

C k 2n

=

2n+1

2n+2

（

1

C k 2n+1

+

1

C k+1 2n+1

），可得 

1

C k 2n

-

1

C k+1 2n

=

2n+1

2n+2

（

1

C k 2n+1

-

1

C k+2 2n+1

）．要求的式子即

2n+1

2n+2

（

1

C 1 2n+1

-

1

C 3 2n+1

+

1

C 3 2n+1

-

1

C 5 2n+1

+…+

1

C 2n-1 2n+1

-

1

C 2n+1 2n+1

），消項化簡可得結(jié)果．

解答： 解  （1）在（1+x）²ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ 中，
令x=0得，a₀=1；令x=1得，a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_2n=2²ⁿ．
于是a₁+a₂+a₃+…+a_2n=2²ⁿ-1．
（2）由題意可得a_k=

C

k 2n

，k=1，2，3，…，2n，
首先考慮

1

C k 2n+1

+

1

C k+1 2n+1

=

k!(2n+1-k)!

(2n+1)!

+

(k+1)!(2n-k)!

(2n+1)

 
=

k!(2n-k)!(2n+1-k+k+1)

(2n+1)!

=

k!(2n-k)!(2n+2)

(2n+1)!

=

2n+2

(2n+1) •C k 2n

，
則

1

C k 2n

=

2n+1

2n+2

（

1

C k 2n+1

+

1

C k+1 2n+1

），
∴

1

C k 2n

-

1

C k+1 2n

=

2n+1

2n+2

（

1

C k 2n+1

-

1

C k+2 2n+1

）．
故

1

a1

-

1

a2

+

1

a3

-

1

a4

+…+

1

a2n-1

-

1

a2n

=

2n+1

2n+2

（

1

C 1 2n+1

-

1

C 3 2n+1

+

1

C 3 2n+1

-

1

C 5 2n+1

+…+

1

C 2n-1 2n+1

-

1

C 2n+1 2n+1

）
=

2n+1

2n+2

（

1

C 1 2n+1

-

1

C 2n+1 2n+1

）=

2n+1

2n+2

（

1

2n+1

-1）=-

n

n+1

．

點評：本題主要考查二項式定理的應用、賦值法、組合數(shù)公式、組合數(shù)的性質(zhì)．關于組合數(shù)的倒數(shù)問題一直沒有涉及過，注意關注一下，屬于難題．