平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知⊙M經(jīng)過點(diǎn)F1(0,-c),F(xiàn)2(0,c),A(
3
c,0)三點(diǎn),其中c>0.
(1)求⊙M的標(biāo)準(zhǔn)方程(用含c的式子表示);
(2)已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
(其中a2-b2=c2)的左、右頂點(diǎn)分別為D、B,⊙M與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、C,且A點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè),C點(diǎn)在D點(diǎn)右側(cè).
①求橢圓離心率的取值范圍;
②若A、B、M、O、C、D(O為坐標(biāo)原點(diǎn))依次均勻分布在x軸上,問直線MF1與直線DF2的交點(diǎn)是否在一條定直線上?若是,請(qǐng)求出這條定直線的方程;若不是,請(qǐng)說明理由.
(1)設(shè)⊙M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,
則由題設(shè),得
c2-Ec+F=0
c2+Ec+F=0
3c2+
3
Dc+F=0

解得
D=-
2
3
3
c
E=0
F=-c2

⊙M的方程為x2+y2-
2
3
3
cx-c2=0
,
⊙M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-
3
3
c)2+y2=
4
3
c2
;(5分)
(2)⊙M與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A(
3
c,0)
,C(-
3
3
c,0)
,
又B(b,0),D(-b,0),
由題設(shè)
3
c>b
-
3
3
c>-b
3
c>b
3
3
c<b

所以
3c2a2-c2
1
3
c2a2-c2
解得
1
2
c
a
3
2
,
1
2
<e<
3
2
.所以橢圓離心率的取值范圍為(
1
2
,
3
2
)
;(10分)
(3)由(1),得M(
3
3
c,0)

由題設(shè),得
3
c-b=b-
3
3
c=
3
3
c

b=
2
3
3
c
,D(-
2
3
3
c,0)

∴直線MF1的方程為
x
3
3
c
-
y
c
=1
,
①直線DF2的方程為-
x
2
3
3
c
+
y
c
=1

②由①②,得直線MF1與直線DF2的交點(diǎn)Q(
4
3
3
c,3c)
,
易知kOQ=
3
3
4
為定值,
∴直線MF1與直線DF2的交點(diǎn)Q在定直線y=
3
3
4
x
上.(15分)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,“方程
x2
k-1
+
y2
k-3
=1
表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線”的充要條件是k∈
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,Pn(n,n2)(n∈N+)是拋物線y=x2上的點(diǎn),△OPnPn+1的面積為Sn
(1)求Sn;
(2)化簡(jiǎn)
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
;
(3)試證明S1+S2+…+Sn=
n(n+1)(n+2)
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(4+2
3
,2),B(4,4)
,圓C是△OAB的外接圓.
(1)求圓C的方程;
(2)若過點(diǎn)(2,6)的直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)為4
3
,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為:
x=-2+
3
5
t
y=2+
4
5
t
(t為參數(shù)),它與曲線C:(y-2)2-x2=1交于A,B兩點(diǎn).
(1)求|AB|的長(zhǎng);
(2)在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2
2
,
4
)
,求點(diǎn)P到線段AB中點(diǎn)M的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知矩形ABCD的兩邊AB,CD分別落在x軸、y軸的正半軸上,且AB=2,AD=4,點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合.現(xiàn)將矩形折疊,使點(diǎn)A落在線段DC上,若折痕所在的直線的斜率為k,試寫出折痕所在直線的方程及k的范圍.

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