【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)在上的最大值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn),求的取值范圍;
(3)求證:.
【答案】(1) (2) (3)證明見(jiàn)解析
【解析】
(1)對(duì)求導(dǎo)得,判斷在上的單調(diào)性即可求得在上的最大值;
(2)將在區(qū)間上有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有解,分離參數(shù)后構(gòu)造新的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得的范圍,再結(jié)合,確定的范圍;
(3)由(1)知,,利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將化成,而,原不等式右側(cè)可利用放縮和裂項(xiàng)相消求得,又,原不等式左側(cè)也可得證,從而證明不等式成立.
(1),,
在上單調(diào)遞減,,
當(dāng)時(shí),,
在上單調(diào)遞減,
.
(2)函數(shù)在上有零點(diǎn)
有解在上有解且.
令,,
因?yàn)?/span>,
令,解得,
在上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,
又,,
即,故.
又,得,
綜上可得,.
(3)證明:由(1)知,,
所以時(shí),.
設(shè),
則,
,
所以
所以
又因?yàn)?/span>
所以
故結(jié)論成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,多面體中,四邊形是為鈍角的平行四邊形,四邊形為直角梯形,且.
(1)求證:;
(2)若點(diǎn)到平面的距離為,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知ban-2n=(b-1)Sn.
(1)證明:當(dāng)b=2時(shí),{an-n·2n-1}是等比數(shù)列;
(2)求{an}的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)當(dāng)為何值時(shí),直線是曲線的切線;
(2)若不等式在上恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)家提出的“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”,它在世界數(shù)學(xué)史上具有光輝的一頁(yè),堪稱數(shù)學(xué)史上名垂百世的成就,而且一直啟發(fā)和指引著歷代數(shù)學(xué)家們.定理涉及的是數(shù)的整除問(wèn)題,其數(shù)學(xué)思想在近代數(shù)學(xué)、當(dāng)代密碼學(xué)研究及日常生活都有著廣泛應(yīng)用,為世界數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn),現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題:將1到2019這2019個(gè)整數(shù)中能被5除余1且被7除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列,構(gòu)成數(shù)列,那么此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為( )
A.56B.57C.58D.59
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,四邊形為正方形,,,.
(1)證明:平面平面.
(2)若平面,二面角為,三棱錐的外接球的球心為,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示是一個(gè)上下底面均是邊長(zhǎng)為2的正三角形的直三棱柱,且該直三棱柱的高為4,D為AB的中點(diǎn),E為CC1的中點(diǎn).
(1)求DE與平面ABC夾角的正弦值;
(2)求二面角A﹣A1D﹣E的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在新中國(guó)成立70周年國(guó)慶閱兵慶典中,眾多群眾在臉上貼著一顆紅心,以此表達(dá)對(duì)祖國(guó)的熱愛(ài)之情,在數(shù)學(xué)中,有多種方程都可以表示心型曲線,其中有著名的笛卡爾心型曲線,如圖,在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線,其極坐標(biāo)方程為(),M為該曲線上的任意一點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí),求M點(diǎn)的極坐標(biāo);
(2)將射線OM繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點(diǎn)N,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某大學(xué)棋藝協(xié)會(huì)定期舉辦“以棋會(huì)友”的競(jìng)賽活動(dòng),分別包括“中國(guó)象棋”、“圍棋”、“五子棋”、“國(guó)際象棋”四種比賽,每位協(xié)會(huì)會(huì)員必須參加其中的兩種棋類比賽,且各隊(duì)員之間參加比賽相互獨(dú)立;已知甲同學(xué)必選“中國(guó)象棋”,不選“國(guó)際象棋”,乙、丙兩位同學(xué)從四種比賽中任選兩種參與.
(1)求甲、乙同時(shí)參加圍棋比賽的概率;
(2)記甲、乙、丙三人中選擇“中國(guó)象棋”比賽的人數(shù)為,求的分布列及期望.
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