Question

已知函數(shù),
(1) 設(shè)（其中是的導(dǎo)函數(shù)）,求的最大值；
(2) 證明: 當(dāng)時(shí)，求證：  ；
(3) 設(shè),當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求的最大值

Answer 1

(1),
所以 ．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
因此，當(dāng)時(shí)，取得最大值；
（2）當(dāng)時(shí)，．
由（1）知：當(dāng)時(shí)，，即．
因此，有．
（3）不等式化為
所以對(duì)任意恒成立．
令，則，
令，
則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823193049926903.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以方程在上存在唯一實(shí)根，且滿足．
當(dāng)，即，當(dāng)，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以．
所以．
故整數(shù)的最大值是．

略