(2009•楊浦區(qū)一模)(文)已知△OAB,
OA
=
a
OB
=
b
,|
a
|=
2
,|
b
|=
3
,
a
b
=1
,邊AB上一點(diǎn)P1,這里P1異于A、B.由P1引邊OB的垂線P1Q1,Q1是垂足,再由Q1引邊OA的垂線Q1R1,R1是垂足.又由R1引邊AB的垂線R1P2,P2是垂足.同樣的操作連續(xù)進(jìn)行,得到點(diǎn) Pn、Qn、Rn(n∈N*).設(shè) 
APn
=tn(
b
-
a
)(0
<tn<1),如圖.
(1).求|
AB
|
的值;
(2).某同學(xué)對(duì)上述已知條件的研究發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論:
BQ1
=-
2
3
(1-t1)
b
,問(wèn)該同學(xué)這個(gè)結(jié)論是否正確?并說(shuō)明理由;
(3).當(dāng)P1、P2重合時(shí),求△P1Q1R1的面積.
分析:(1)先求|
AB
|
的平方的值,然后開(kāi)根號(hào)即可;
(2)該同學(xué)的結(jié)論正確,利用余弦定理求出cos∠ABO,然后求出|
BP1
|
,而|
BQ1
|=|
BP
1
 |cos∠ABO
,即可知道結(jié)論:
BQ1
=-
2
3
(1-t1)
b
是否正確;
(3)根據(jù)向量的夾角公式求出cos∠BOA和cos∠BAO,從而求出 |
OR1
|=|
OQ
1
|cos∠BOA
以及
|
AP
2
|=|
AR1
|cos∠BAO
的值,當(dāng)P1、P2重合時(shí),有t1=t2,求出t1的值,最后根據(jù)SP1Q1R1=S△OAB-S△OR1Q1-SR1AP1-S△BQ1P1可求出面積.
解答:解:(1)因?yàn)?span id="yg4swke" class="MathJye">△OAB,
OA
=
a
,
OB
=
b
,|
a
|=
2
,|
b
|=
3
a
b
=1-----(1分)
則 |
AB
|2=|
b
-
a
|2=|
b
|2+|
a
|2-2
a
b
=3
;所以,|
AB
|=
3
--------------(4分)
(2)該同學(xué)的結(jié)論正確.-----------------------------------------(5分)
由(1)與已知,得|
AB
|=
3
|
OB
|=
3
,|
OA
|=
2

由余弦定理  cos∠ABO=
|
OB
|
2
+|AB|2-|OA|2
2|
OB
||
AB
|
=
3+3-2
3
×
3
=
2
3
-----------------(6分)
又∵|
AP1
|=t1|
b
-
a
|=
3
t1
,則|
BP1
|=|
AB
|-|
AP1
|=
3
-
3
t1

|
BQ1
|=|
BP
1
|cos∠ABO=
2
3
3
(1-t1)
,所以,
BQ1
=-
2
3
(1-t1)
b
---------(8分)
(3)由已知得   cos∠BOA=
a
b
|
a
||
b
|
=
1
2
×
3
=
1
6
-------------(9分)
(或用余弦定理求得,也可)∵|
OB
|=|
AB
|=
3
,∴cos∠BAO=
1
6
;
 |
OR1
|=|
OQ
1
|cos∠BOA
=(|
OB
|-|
BQ
1
|)cos∠BOA=[
3
-
2
3
3
(1-t1)]×
1
6
=
1
3
2
(1+2t1)
∵|
AP
2
|=|
AR1
|cos∠BAO=[|
OA
|-|
OR
1
|]cos∠BAO
=[
2
-
1
3
2
(1+2t1)]
1
6
=
1
6
3
(5-2t1)
-------------------------(11分)
所以  t2=
|
AP2
|
|
b
-
a
|
=
1
18
(5-2t1)=-
1
9
t1+
5
18
----------------------------------------------(12分)
當(dāng)P1、P2重合時(shí),有t1=t2,解t1=-
1
9
t1+
5
18
t1=
1
4
,---------------------------------(13分)
此時(shí)
BQ1
=-
1
2
b
,∴BQ1=
1
2
OB=
3
2
,OR1=
1
2
2
=
2
4
,AP1=
3
4
,BP1=
3
3
4
,R1A=
3
2
4
,R1P1=
15
4
,
易求 S△OAB=
5
2
S△OR1Q1=
5
16
,SR1AP1=
3
5
32
,
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