(滿分16分)已知定義域為的函數(shù)同時滿足以下三個條件時,稱為“友誼函數(shù)”,

[1] 對任意的,總有;  [2] ;

[3] 若,,且,則有成立。

請解答下列各題:

(1)若已知為“友誼函數(shù)”,求的值;

(2)函數(shù)在區(qū)間上是否為“友誼函數(shù)”?并給出理由.

(3)已知為“友誼函數(shù)”,假定存在,使得,求證:.

解析:(1)取,又由,得          

(2)顯然上滿足[1] ;[2] .若,,且,則有

 故滿足條件[1]、[2]、[3],所以為友誼函數(shù).

(3)由 [3]知任給其中,且有,不妨設

則必有:所以:

所以:.依題意必有,

下面用反證法證明:假設,則有

(1)    若,則,這與矛盾;

(2)     若,則,這與矛盾;

     故由上述(1)、(2)證明知假設不成立,則必有,證畢.
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(本小題滿分16分)已知F1(-c,0), F2(c,0) (c>0)是橢圓的兩個焦點,O為坐標原點,圓M的方程是

(1)若P是圓M上的任意一點,求證:是定值;

(2)若橢圓經(jīng)過圓上一點Q,且cos∠F1QF2=,求橢圓的離心率;

(3)在(2)的條件下,若|OQ|=,求橢圓的方程.

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 (本小題滿分16分)

已知函數(shù)的定義域為(0,),且,設點P是函數(shù)圖象上的任意一點,過點P分別作直線軸的垂線,垂足分別為M、N.

(1)求的值;

(2)問:是否為定值?若是,則求出該定值,若不是,請說明理由;

(3)設O為坐標原點,求四邊形OMPN面積的最小值.

 

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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年江蘇省、海門中學、天一中學高三聯(lián)考數(shù)學 題型:解答題

(本小題滿分16分)

已知橢圓的離心率為,一條準線

(1)求橢圓的方程;

(2)設O為坐標原點,上的點,為橢圓的右焦點,過點FOM的垂線與以OM為直徑的圓交于兩點.

        ①若,求圓的方程;

②若l上的動點,求證點在定圓上,并求該定圓的方程.

 

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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年江蘇省高三第一次學情調(diào)研測試數(shù)學試卷 題型:解答題

(本小題滿分16分)已知點在雙曲線上,圓C:與雙曲線M的一條漸近線相切于點(1,2),且圓C被x軸截得的弦長為4.(Ⅰ)求雙曲線M的方程;(Ⅱ)求圓C的方程;(Ⅲ)過圓C內(nèi)一定點Q(s,t)(不同于點C)任作一條直線與圓C相交于點A、B,以A、B為切點分別作圓C的切線PA、PB,求證:點P在定直線l上,并求出直線l的方程.

 

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科目:高中數(shù)學 來源:2013屆江蘇省南通市高二期中聯(lián)考數(shù)學試卷 題型:解答題

(本題滿分16分)已知圓過點且與圓關(guān)于直線 對稱,作斜率為的直線與圓交于兩點,且點在直線的左上方。

(1)求圓C的方程。

(2)證明:△的內(nèi)切圓的圓心在定直線上。

(3)若∠,求△的面積。

 

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