【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,橢圓C的長軸長為4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知直線l:y=kx+ 與橢圓C交于A,B兩點,是否存在實數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:設(shè)橢圓的焦半距為c,則由題設(shè),得:

解得 所以b2=a2﹣c2=4﹣3=1,

故所求橢圓C的方程為 +x2=1.


(2)解:存在實數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O.

理由如下:

設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),

將直線l 的方程y=kx+ 代入 +x2=1,

并整理,得(k2+4)x2+2 kx﹣1=0.(*)

則x1+x2=﹣ ,x1x2=﹣

因為以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O,

所以 =0,即x1x2+y1y2=0.

又y1y2=k2x1x2+ k(x1+x2)+3,

于是﹣ +3=0,解得k=±

經(jīng)檢驗知:此時(*)式的△>0,符合題意.

所以當(dāng)k=± 時,以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O.


【解析】(1)設(shè)橢圓的焦半距為c,則由題設(shè),得: ,解得a,b,c值,可得橢圓C的方程;(2)設(shè)點A(x1 , y1),B(x2 , y2),將直線l 的方程y=kx+ 代入 +x2=1,利用韋達(dá)定理,及向量垂直的充要條件,可求出滿足條件的k值.

練習(xí)冊系列答案
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點擊量

節(jié)數(shù)

6

18

12

(Ⅰ)現(xiàn)從36節(jié)云課中采用分層抽樣的方式選出6節(jié),求選出的點擊量超過3000的節(jié)數(shù).

(Ⅱ)為了更好地搭建云課平臺,現(xiàn)將云課進(jìn)行剪輯,若點擊量在區(qū)間內(nèi),則需要花費(fèi)40分鐘進(jìn)行剪輯,若點擊量在區(qū)間內(nèi),則需要花費(fèi)20分鐘進(jìn)行剪輯,點擊量超過3000,則不需要剪輯,現(xiàn)從(Ⅰ)中選出的6節(jié)課中任意取出2節(jié)課進(jìn)行剪輯,求剪輯時間為40分鐘的概率.

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