精英家教網(wǎng)設(shè)直線過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F,且交C于點(diǎn)M,N,設(shè)
MF
FN
(λ>0)

(I)若p=2,λ=4,求MN所在的直線方程;
(II)若p=2,4≤λ≤9,求直線MN在y軸上截距的取值范圍;
(III)拋物線C的準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)E,求證:
EF
EM
EN
的夾角為定值.
分析:(I)p=2時,拋物線y2=4x,F(xiàn)(1,0),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
MF
FN
(λ>0)得(1-x1,y1)=λ(x2-1,-y2),即
1-x1=λ(x2-1)  ①
y1=-λy2
,由此能求出MN所在的直線方程.
(II)由p=2得直線MN方程為(λ-1)y=2
λ
(x-1)或(λ-1)y
=-2
λ
(x-1)
,由此能求出直線MN在y軸上截距的取值范圍.
(III)設(shè)M,N在直線l上的射影為M’,N’,則有
EM
=
EM
+
MM
EN
=
EN
+
NN
,由
MM
NN
,知
EM
EN
=
EM
EN
,由此能求出
EF
EM
EN
的夾角為定值90°.
解答:解:(I)p=2時,拋物線y2=4x,F(xiàn)(1,0),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
MF
FN
(λ>0)得(1-x1,y1)=λ(x2-1,-y2),即
1-x1=λ(x2-1)  ①
y1=-λy2

由②得y122y22,∵y12=4x1,y22=4x2,∴x12x2.③
聯(lián)立①、③解得x2=
1
λ
x1=λ,依題意有λ>0
∴M(λ,2
λ
),或M(λ,-2
λ
),而F(1,0),當(dāng)λ=4時,
得直線MN的方程為4x-3y-4=0或4x+3y-4=0;(5分)

(II)由(I)及p=2得直線MN方程為(λ-1)y=2
λ
(x-1)或(λ-1)y
=-2
λ
(x-1)
,
當(dāng)λ∈[4,9]時,MN在y軸上的截距為
2
λ
λ-1
或-
2
λ
λ-1

f(x)=
2
x
x-1
,則f′(x)=
-x-1
x
(x-1)2
<0
可知
2
λ
λ-1
在[4,9]上是遞減的,
3
4
2
λ
λ-1
4
3
,-
4
3
≤-
2
λ
λ-1
≤-
3
4
,
直線MN在y軸上截距的變化范圍為[-
4
3
,-
3
4
]∪[
3
4
,
4
3
].(5分)

(III)設(shè)M,N在直線l上的射影為M’,N’,則有
EM
=
EM
+
MM
,
EN
=
EN
+
NN
,
由于
MM
NN
,∴
EM
EN
=
EM
EN
,
EF
⊥(
EM
EN
)
,∴
EF
⊥(
EM
EN
)
,
EF
EM
EN
的夾角為定值90°.
點(diǎn)評:本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識,解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C:y=x2+4x+
7
2
,過拋物線C上點(diǎn)M且與M處的切線垂直的直線稱為拋物線C在點(diǎn)M的法線.
(1)若拋物線C在點(diǎn)M的法線的斜率為-
1
2
,求點(diǎn)M的坐標(biāo)(x0,y0);
(2)設(shè)P(-2,4)為C對稱軸上的一點(diǎn),在C上一定存在點(diǎn),使得C在該點(diǎn)的法線通過點(diǎn)P.試求出這些點(diǎn),以及C在這些點(diǎn)的法線方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

拋物線C的方程為y=ax2(a<0),過拋物線C上一點(diǎn)P(x0,y0)(x0≠0)作斜率為k1、k2的兩條直線分別交拋物線C于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn)(P、A、B三點(diǎn)互不相同),且滿足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠-1),
(1)設(shè)直線AB上一點(diǎn)M,滿足
BM
MA
,證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上;
(2)當(dāng)λ=1時,若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-1),求∠PAB為鈍角時點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y1的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)拋物線C:y=x2,F(xiàn)為焦點(diǎn),l為準(zhǔn)線,準(zhǔn)線與y軸交點(diǎn)為H
(1)求|FH|;
(2)過點(diǎn)H的直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),直線AF與拋物線交于點(diǎn)D.
①設(shè)A,B,D三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,x3,計(jì)算:x1•x2及x1•x3的值;
②若直線BF與拋物線交于點(diǎn)E,求證:D,E,H三點(diǎn)共線.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009年浙江省杭州市高考數(shù)學(xué)二模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

設(shè)直線過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F,且交C于點(diǎn)M,N,設(shè)
(I)若p=2,λ=4,求MN所在的直線方程;
(II)若p=2,4≤λ≤9,求直線MN在y軸上截距的取值范圍;
(III)拋物線C的準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)E,求證:的夾角為定值.

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