Question

某園林公司計(jì)劃在一塊以O(shè)為圓心，R（R為常數(shù)，單位為米）為半徑的半圓形（如圖）地上種植花草樹木，其中弓形CMDC區(qū)域用于觀賞樣板地，△OCD區(qū)域用于種植花木出售，其余區(qū)域用于種植草皮出售．已知觀賞樣板地的成本是每平方米2元，花木的利潤(rùn)是每平方米8元，草皮的利潤(rùn)是每平方米3元．
（1）設(shè)∠COD=θ（單位：弧度），用θ表示弓形CMDC的面積S_弓=f（θ）；
（2）園林公司應(yīng)該怎樣規(guī)劃這塊土地，才能使總利潤(rùn)最大？并求相對(duì)應(yīng)的θ．
（參考公式：扇形面積公式S=

1

2

R2θ=

1

2

Rl，l表示扇形的弧長(zhǎng)）

Answer 1

分析：（1）設(shè)∠COD=θ（單位：弧度），利用扇形面積減去三角形的面積，即可求出弓形CMDC的面積S_弓=f（θ）；
（2）設(shè)總利潤(rùn)為y元，草皮利潤(rùn)為y₁元，花木地利潤(rùn)為y₂，觀賞樣板地成本為y₃，求出y的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的最大值，得到結(jié)果．

解答：解：（1）S扇=

1

2

R2θ，S△OCD=

1

2

R2sinθ，S弓=f(θ)=

1

2

R2(θ-sinθ)．
（2）設(shè)總利潤(rùn)為y元，草皮利潤(rùn)為y₁元，花木地利潤(rùn)為y₂，觀賞樣板地成本為y₃y1=3(

1

2

πR2-

1

2

R2θ)，y2=

1

2

R2sinθ•8，y3=

1

2

R2(θ-sinθ)•2，
∴y=y1+y2-y3=3(

1

2

πR2-

1

2

R2θ)+

1

2

R2sinθ•8-

1

2

R2(θ-sinθ)•2．=

1

2

R2[3π-(5θ-10sinθ)]
設(shè)g（θ）=5θ-10sinθθ∈（0，π）．g′（θ）=5-10cosθg′(θ)＜0，cosθ＞

1

2

，g(θ)在θ∈(0，

π

3

)上為減函數(shù)；g′(θ)＞0，cosθ＜

1

2

，g(θ)在θ∈(

π

3

，π)上為增函數(shù)．
當(dāng)θ=

π

3

時(shí)，g（θ）取到最小值，此時(shí)總利潤(rùn)最大．
答：所以當(dāng)園林公司把扇形的圓心角設(shè)計(jì)成

π

3

時(shí)，總利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的應(yīng)用題中的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．