Question

（本題滿分14分）某園林公司計劃在一塊為圓心,(為常數(shù)，單位為米)為半徑的半圓形（如圖）地上種植花草樹木，其中弓形區(qū)域用于觀賞樣板地，區(qū)域用于種植花木出售，其余區(qū)域用于種植草皮出售.已知觀賞樣板地的成本是每平方米2元，花木的利潤是每平方米8元，草皮的利潤是每平方米3元.

（1）設(shè), 用表示弓形的面積;（2）園林公司應(yīng)該怎樣規(guī)劃這塊土地,才能使總利潤最大? 并求相對應(yīng)的

(參考公式:扇形面積公式，表示扇形的弧長)

 

Answer 1

【答案】

（1） ;

(2)所以當園林公司把扇形的圓心角設(shè)計成時，總利潤最大.   

【解析】本試題主要是考查了在實際生活中的運用，能借助于三角函數(shù)的有界性得到函數(shù)的最值，即利潤的最大值。

（1）因為運用扇形面積公式和三角形面積公式作差法得到弓形的面積的求解。

（2）利用收入減去成本的，到關(guān)系與利潤的函數(shù)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的思想判定單調(diào)性，進而確定極值，那么極值唯一，那么就是最值。

（1），, .………3分

(2)設(shè)總利潤為元，草皮利潤為元，花木地利潤為，觀賞樣板地成本為

，，,

 .

                                            ……8分

設(shè)  .

 ，上為減函數(shù)；

上為增函數(shù).                    ……12分

當時，取到最小值,此時總利潤最大.

答：所以當園林公司把扇形的圓心角設(shè)計成時，總利潤最大.          ………14分