Question

已知函數(shù)．
（1）若，求函數(shù)的極小值；
（2）設(shè)函數(shù)，試問：在定義域內(nèi)是否存在三個(gè)不同的自變量使得的值相等，若存在，請(qǐng)求出的范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由？

Answer 1

（1）極小值為2；（2）不存在，詳見解析．

試題分析：（1）由a=4，得函數(shù)f（x）的解析式，求出其導(dǎo)函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)為0的根，通過比較兩根的大小找到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出f（x）的極小值；（2）若定義域內(nèi)存在三個(gè)不同的自變量的取值x_i（i=1，2，3），使得f（x_i）-g（x_i）的值恰好都相等，設(shè)f（x_i）-g（x_i）=m．（i=1，2，3），則對(duì)于某一實(shí)數(shù)m，方程f（x）-g（x）=m在（0，+∞）上有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)，由此能求出在定義域內(nèi)不存在三個(gè)不同的自變量的取值x_i（i=1，2，3）使得f（x_i）-g（x_i）的值恰好都相等．
解：（1）定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045631514280.png" style="vertical-align:middle;" />，由已知得，   2分
則當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)， 
故函數(shù)的極小值為．                6分
（2）若存在，設(shè)，
則對(duì)于某一實(shí)數(shù)方程在上有三個(gè)不等的實(shí)根，
設(shè)，
則函數(shù)的圖象與x軸有三個(gè)不同交點(diǎn)，
即在有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．9分
顯然在上至多只有一個(gè)零點(diǎn)
則函數(shù)的圖象與x軸至多有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則這樣的不存在。       13分