【題目】已知,是曲線上任意一點,動點滿足.
(1)求點的軌跡的方程;
(2)過點的直線交于,兩點,過原點與點的直線交直線于點,求證:.
【答案】(1);(2)詳見解析.
【解析】
(1)設(shè),,由推出代入方程即可求解點的軌跡的方程;(2)直線的斜率存在,其方程可設(shè)為,設(shè),,聯(lián)立,利用韋達定理,轉(zhuǎn)化求解斜率,推出結(jié)果即可.
解:(1)設(shè),,由得:,
則,
即,
因為點B為曲線上任意一點,故,代入得.
所以點的軌跡的方程是.
(2)依題意得,直線的斜率存在,其方程可設(shè)為,
設(shè),,
聯(lián)立得,
所以,.
因為直線的方程為,
且是直線與直線的交點,所以的坐標為.
根據(jù)拋物線的定義等于點到準線的距離,由于在準線上,
所以要證明,只需證明垂直準線,
即證軸.
因為的縱坐標.
所以軸成立,所以成立.
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【題目】已知如圖,矩形所在平面與底面垂直,在直角梯形中,,,,.
(1)求證:平面;
(2)求證:平面;
(3)求與平面所成角的正弦值.
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【題目】已知P是圓F1:(x+1)2+y2=16上任意一點,F2(1,0),線段PF2的垂直平分線與半徑PF1交于點Q,當點P在圓F1上運動時,記點Q的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)記曲線C與x軸交于A,B兩點,M是直線x=1上任意一點,直線MA,MB與曲線C的另一個交點分別為D,E,求證:直線DE過定點H(4,0).
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【題目】從某部門參加職業(yè)技能測試的2000名員工中抽取100名員工,將其成績(滿分100分)按照,,,分成4組,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)估計該部門參加測試員工的成績的中位數(shù);
(2)估計該部門參加測試員工的平均成績.
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【題目】某鮮花店每天制作、兩種鮮花共束,每束鮮花的成本為元,售價元,如果當天賣不完,剩下的鮮花作廢品處理.該鮮花店發(fā)現(xiàn)這兩種鮮花每天都有剩余,為此整理了過往100天這兩種鮮花的日銷量(單位:束),得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù):
種鮮花日銷量 | 48 | 49 | 50 | 51 |
天數(shù) | 25 | 35 | 20 | 20 |
兩種鮮花日銷量 | 48 | 49 | 50 | 51 |
天數(shù) | 40 | 35 | 15 | 10 |
以這100天記錄的各銷量的頻率作為各銷量的概率,假設(shè)這兩種鮮花的日銷量相互獨立.
(1)記該店這兩種鮮花每日的總銷量為束,求的分布列.
(2)鮮花店為了減少浪費,提升利潤,決定調(diào)查每天制作鮮花的量束.以銷售這兩種鮮花的日總利潤的期望值為決策依據(jù),在每天所制鮮花能全部賣完與之中選其一,應(yīng)選哪個?
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【題目】函數(shù),其中,,為實常數(shù)
(1)若時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若時,不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若,當時,證明:.
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【題目】已知橢圓的焦距為4,且過點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設(shè)為橢圓上一點,過點作軸的垂線,垂足為,取點,連接,過點作的垂線交軸于點,點是點關(guān)于軸的對稱點,作直線,問這樣作出的直線是否與橢圓一定有唯一的公共點?并說明理由.
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【題目】已知函數(shù)在點處的切線方程為.
(1)若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè),對于,的值域為,若,求實數(shù)的取值范圍.
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