Question

如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M（2，0），AB邊所在直線的方程為
x-3y-6=0，點(diǎn)T（-1，1）在AD邊所在直線上．
（1）求AD邊所在直線的方程；   
（2）求矩形ABCD外接圓的方程；
（3）過(guò)點(diǎn)N（-2，0）的直線l與矩形ABCD的外接圓相交于P，Q兩點(diǎn)，求
|

NP

|•|

NQ

|．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（ I）由AD與AB垂直，求出直線AD的斜率，由此能求出AD邊所在直線的方程．
（ II）由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

，解得點(diǎn)A（0，-2），因?yàn)榫匦蜛BCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為M（2，0）．所以M為矩形ABCD外接圓的圓心．由此能求出矩形ABCD外接圓的方程．
（ III）過(guò)點(diǎn)N作圓的切線，切點(diǎn)為S，由此利用切割線定理能求出結(jié)果．

解答： 解：（ I）因?yàn)锳B邊所在直線的方程為x-3y-6=0，且AD與AB垂直，
所以直線AD的斜率為-3．
又因?yàn)辄c(diǎn)T（-1，1）在直線AD上，
所以AD邊所在直線的方程為y-1=-3（x+1），
即3x+y+2=0．
（ II）由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

，解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-2），
因?yàn)榫匦蜛BCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為M（2，0）．
所以M為矩形ABCD外接圓的圓心．
又|AM|=

(2-0)2+(0+2)2

=2

2

．
從而矩形ABCD外接圓的方程為（x-2）²+y²=8．
（ III）過(guò)點(diǎn)N作圓的切線，切點(diǎn)為S，
則|

NP

|•|

NQ

|=|

NS

|2=|

NM

|2-|

MS

|2=8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程的求法，考查圓的方程的求法，考查向量數(shù)量積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線性質(zhì)的靈活運(yùn)用．