已知雙曲線C的方程為-=1(a>0,b>0),離心率e=,頂點(diǎn)到漸近線的距離為.

(1)求雙曲線C的方程;
(2)如圖,P是雙曲線C上一點(diǎn),A、B兩點(diǎn)在雙曲線C的兩條漸近線上,且分別位于第一、二象限.若,λ∈.求△AOB的面積的取值范圍.

(1) -x2=1    (2)

解析解:(1)由題意知,雙曲線C的頂點(diǎn)(0,a)到漸近線ax-by=0的距離為,
=,即=.

∴雙曲線C的方程為-x2=1.
(2)由(1)知雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±2x,
設(shè)A(m,2m),B(-n,2n),m>0,n>0.
得P點(diǎn)坐標(biāo)為,
將P點(diǎn)坐標(biāo)代入-x2=1,化簡得mn=.
設(shè)∠AOB=2θ,∵tan(-θ)2.
∴tanθ=,sin2θ=.
又|OA|=m,|OB|=n,
∴S△AOB=|OA|·|OB|·sin2θ
=2mn
=+1,
記S(λ)=+1,λ∈.
則S′(λ)=.
由S′(λ)=0得λ=1.
又S(1)=2,S=,S(2)=,
∴當(dāng)λ=1時,△AOB的面積取得最小值2,當(dāng)λ=時,
△AOB的面積取得最大值.
∴△AOB面積的取值范圍是.

練習(xí)冊系列答案
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設(shè)A、B分別為橢圓=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn),橢圓長半軸的長等于焦距,且直線x=4是它的右準(zhǔn)線.
(1)求橢圓的方程;
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(1)求拋物線C的方程;
(2)是否存在點(diǎn)M,使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
(3)若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為,直線l:y=kx+與拋物線C有兩個不同的交點(diǎn)A,B,l與圓Q有兩個不同的交點(diǎn)D,E,求當(dāng)≤k≤2時,|AB|2+|DE|2的最小值.

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已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個頂點(diǎn)為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)當(dāng)△AMN的面積為時,求k的值.

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已知常數(shù),向量,經(jīng)過定點(diǎn)為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)為方向向量的直線相交于,其中,
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;(2)若,過的直線交曲線兩點(diǎn),求的取值范圍。

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(1)求橢圓的方程;
(2)若,過的直線交橢圓于兩點(diǎn),試確定的取值范圍.

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