Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知C₁：

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)），將C₁上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長(zhǎng)為原來的

2

和2倍后得到曲線C₂以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，已知直線l：ρ（

2

cosθ+sinθ）=4
（1）試寫出曲線C₁的極坐標(biāo)方程與曲線C₂的參數(shù)方程；
（2）在曲線C₂上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線l的距離最小，并求此最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：

分析：（1）把C₁消去參數(shù)化為普通方程為 x²+y²=1，再化為極坐標(biāo)方程．根據(jù)函數(shù)圖象的伸縮變換規(guī)律可得曲線C₂的普通方程，再化為極參數(shù)方程．
（2）先求得直線l的直角坐標(biāo)方程，設(shè)點(diǎn)P（

2

cosθ，2sinθ），求得點(diǎn)P到直線的距離為d=

2| 2 sin(θ+ π 4 )-2|

3

，故當(dāng)sin（θ+

π

4

）=1時(shí)，即θ=2kπ+

π

4

，k∈z時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離的最小值，從而求得P的坐標(biāo)以及此最小值

解答：解：（1）把C₁：

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)），消去參數(shù)化為普通方程為 x²+y²=1，
故曲線C₁：的極坐標(biāo)方程為ρ=1．
再根據(jù)函數(shù)圖象的伸縮變換規(guī)律可得曲線C₂的普通方程為(

x

2

)2+(

y

2

)2=1，即

x2

2

+

y2

4

=1．
故曲線C₂的極參數(shù)方程為

x= 2 cosθ y=2sinθ

 （θ為參數(shù)）．
（2）直線l：ρ（

2

cosθ+sinθ）=4，即

2

x+y-4=0，設(shè)點(diǎn)P（

2

cosθ，2sinθ），
則點(diǎn)P到直線的距離為d=

|2cosθ+2sinθ-4|

2+1

=

2| 2 sin(θ+ π 4 )-2|

3

，
故當(dāng)sin（θ+

π

4

）=1時(shí)，d取得最小值，此時(shí)，θ=2kπ+

π

4

，k∈z，點(diǎn)P（1，

2

），
故曲線C₂上有一點(diǎn)P（1，

2

）滿足到直線l的距離的最小值為

4 3

3

-

2 6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．