【題目】已知函數(shù)f(x)=2x,g(x)=-x2+2x+b.

(1)若f(x)++1≥0對任意的x∈[1,3]恒成立,求m的取值范圍;

(2)若x1,x2∈[1,3],對任意的x1,總存在x2,使得f(x1)=g(x2),求b的取值范圍.

【答案】(1)[-6,-∞); (2)見解析.

【解析】

(1)根據(jù)hx)=fx1,結(jié)合勾函數(shù)的性質(zhì)對任意的x[1,3]恒成立,即可求解m的取值范圍;

(2)根據(jù)對任意的x1,總存在x2,使得fx1)=gx2),可得fx)的值域是gx)的值域的子集,即可求解b的范圍;

(1)函數(shù)f(x)=2x,令h(x)=f(x)++1=;

①當(dāng)m=0時,可得h(x)=2x+1在x∈[1,3]恒成立;

②當(dāng)m<0時,可知f(x)=2x是遞增函數(shù),y=在x∈[1,3]也是遞增函數(shù),

∴h(x)在x∈[1,3]是遞增函數(shù),此時h(x)min=h(1)=≥0,

可得:-6≤m<0;

③當(dāng)m>0時,,所以函數(shù)h(x)=,滿足題意.

綜上所述:f(x)++1≥0對任意的x∈[1,3]恒成立,可得m的取值范圍是[-6,-∞);

(2)由函數(shù)f(x)=2x,x∈[1,3],

可得:2≤f(x)≤8;

由g(x)=-x2+2x+b.其對稱x=1,開口向下.

∵x∈[1,3],

∴g(x)在x∈[1,3]上單調(diào)遞減.

g(x)max=g(1)=1+b;

g(x)min=g(3)=-3+b;

∵對任意的x1,總存在x2,使得f(x1)=g(x2),

∴f(x)的值域是g(x)的值域的子集;

,

解得:無解.

故x1,x2∈[1,3],對任意的x1,總存在x2,使得f(x1)=g(x2),此是b的取值范圍是空集.

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