定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（xy）=f（x）+f（y），且當x＞1時，f（x）＜0．
（1）求f（1）；
（2）證明f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
（3）若關(guān)于x的不等式f（k•3x）-f（9x-3x+1）≥f（1）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．
（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
則F（1）=2f（1）
∴f（1）=0；           （5分）
證明：（2）由f（xy）=f（x）+f（y）
可得f(
y
x
)=f(y)-f(x)，
設(shè)x1＞x2＞0，f(x1)-f(x2)=f(
x1
x2
)，
x1
x2
＞1，
∴f(
x1
x2
)＜0，即f（x1）-f（x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；（10分）
（3）因為f（k•3x）-f（9x-3x+1）≥f（1），
所以f（k•3x）≥f（9x-3x+1），由（2）得
k•3x≤9x-3x+1
k•3x＞0
（*）恒成立，
令t=3x＞0，則（*）可化為t2-（k+1）t+1≥0對任意t＞0恒成立，且k＞0，
∴（k+1）2-4≤0
∴0＜k≤1．（15分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在（0，1）上的函數(shù)f（x），對任意的m，n∈（1，+∞）且m＜n時，都有f(
1
n
)-f(
1
m
)=f(
m-n
1-mn
)記an=f(
1
n2+5n+5
)，n∈N*，則在數(shù)列{an}中，a1+a2+…a8=（　�。�
A、f(
1
2
)
B、f(
1
3
)
C、f(
1
4
)
D、f(
1
5
)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在（0，1）上的函數(shù)，且滿足：①對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②對任意x1，x2∈（0，1），恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2，則下面關(guān)于函數(shù)f（x）判斷正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•順義區(qū)二模）已知定義在區(qū)間[0，
3π
2
]上的函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=
3π
4
對稱，當x≥
3π
4
時，f（x）=cosx，如果關(guān)于x的方程f（x）=a有解，記所有解的和為S，則S不可能為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

填空題
（1）已知
cos2x
sin(x+
π
4
)
=
4
3
，則sin2x的值為
1
9
1
9
．
（2）已知定義在區(qū)間[0，
3π
2
]上的函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=
3π
4
對稱，當x≥
3π
4
時，f（x）=cosx，如果關(guān)于x的方程f（x）=a有四個不同的解，則實數(shù)a的取值范圍為
(-1，-
2
2
)
(-1，-
2
2
)
．

（3）設(shè)向量
a
，
b
，
c
滿足
a
+
b
+
c
=
0
，(
a
-
b
)⊥
c
，
a
⊥
b
，若|
a
|=1，則|
a
|2+|
b
|2+|
c
|2的值是
4
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•湖州二模）定義在（0，
π
2
）上的函數(shù)f（x），f′（x）是它的導函數(shù)，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，則（　　）

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