Question

（2012•黃岡模擬）在三棱錐O-ABC中，三條棱OA、OB、OC兩兩相互垂直，且OA＞OB＞OC，分別過OA、OB、OC作一個截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為S₁，S₂，S₃，則S₁，S₂，S₃中的最小值是

S₃

．

Answer 1

分析：取BC中點D，連接OD，AD，則平面OAD平分三棱錐的體積，即三角形OAD面積為S₁，由此推導出S₁²=

1

16

（OA²OB²+OA²OC²）．同理可得S₂²=

1

16

（OA²OB²+OB²OC²），S₃²=

1

16

（OA²OC²+OB²OC²），由此能求出S₁，S₂，S₃中的最小值．

解答：解：取BC中點D，連接OD，AD，則平面OAD平分三棱錐的體積，
即三角形OAD面積為S₁，
在Rt△BOC中，OD是斜邊BC上的中線，∴OD=

1

2

BC，
∵OA⊥OB，OA⊥OC，∴OA⊥平面BOC，
∵OD?平面BOC，
∴OA⊥OD，
∴S₁=OA×

1

2

OD，
即S₁²=

1

4

OA²OD²=

1

16

OA²BC²=

1

16

OA²（OB²+OC²）=

1

16

（OA²OB²+OA²OC²）．
同理可得S₂²=

1

16

（OA²OB²+OB²OC²），
S₃²=

1

16

（OA²OC²+OB²OC²），
因為OA＞OB＞OC
所以S₁²＞S₂²＞S₃²
所以S₁，S₂，S₃中的最小值是S₃．
故答案為：S₃．

點評：本題考查棱錐中截面面積的計算，解題時要認真審題，仔細解答，注意勾股定理的靈活運用．