【題目】某沿海城市的海邊有兩條相互垂直的直線型公路l1、l2，海岸邊界MPN近似地看成一條曲線段．為開發(fā)旅游資源，需修建一條連接兩條公路的直線型觀光大道AB，且直線AB與曲線MPN有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P（即直線與曲線相切），如圖所示．若曲線段MPN是函數(shù)圖象的一段，點(diǎn)M到l1、l2的距離分別為8千米和1千米，點(diǎn)N到l2的距離為10千米，以l1、l2分別為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為p．

（1）求曲線段MPN的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域；

（2）若某人從點(diǎn)O沿公路至點(diǎn)P觀景，要使得沿折線OAP比沿折線OBP的路程更近，求p的取值范圍．

【答案】（1）見解析； （2）見解析.

【解析】

（1）由題意得M（1，8），則a=8，即得曲線段的函數(shù)關(guān)系式，可得其定義域；

（2）由函數(shù)關(guān)系式設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，設(shè)直線AB方程，將直線方程與曲線方程聯(lián)立求出A，B坐標(biāo)，即可求出最短長(zhǎng)度p的取值范圍

（1）由題意得M（1，8），則a=8，故曲線段MPN的函數(shù)關(guān)系式為，

又得，所以定義域?yàn)閇1，10]．

（2），設(shè)AB:

由得kpx2+（8﹣kp2）x﹣8p=0，

△=（8﹣kp2）2+32kp2=（kp2+8）2=0，

∴kp2+8=0，∴，得直線AB方程為，

得,B(2p,0)，故點(diǎn)P為AB線段的中點(diǎn)，

由即p2﹣8＞0,

得時(shí)，OA＜OB，

所以，當(dāng)時(shí)，經(jīng)點(diǎn)A至P路程最近．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知梯形中，，，，四邊形為矩形，，平面平面．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；

（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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【題目】(數(shù)學(xué)文卷·2017屆重慶十一中高三12月月考第16題) 現(xiàn)介紹祖暅原理求球體體積公式的做法：可構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐，用這樣一個(gè)幾何體與半球應(yīng)用祖暅原理（圖1），即可求得球的體積公式．請(qǐng)研究和理解球的體積公式求法的基礎(chǔ)上，解答以下問題：已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，將此橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后，得一橄欖狀的幾何體（圖2），其體積等于______．

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【題目】關(guān)于函數(shù)，有下列四個(gè)命題：①的值域是；②是奇函數(shù)；③在上單調(diào)遞增；④方程總有四個(gè)不同的解；其中正確的是（ ）

A.①②B.②③C.②④D.③④

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【題目】(本小題滿分12分)已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）是與圓，圓都相切的一條直線，與曲線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)圓的半徑最長(zhǎng)時(shí)，求．

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【題目】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，其前n項(xiàng)和為．規(guī)定：若數(shù)列滿足前r項(xiàng)依次成公差為1的等差數(shù)列，從第項(xiàng)起往后依次成公比為2的等比數(shù)列，則稱數(shù)列為“r關(guān)聯(lián)數(shù)列”．

（1）若數(shù)列為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）在（1）的條件下，求出，并證明：對(duì)任意，；

（3）若數(shù)列為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，當(dāng)時(shí),在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求，并探究在數(shù)列中是否存在三項(xiàng)，，其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點(diǎn)，且．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）設(shè)為棱上的點(diǎn)（不與，重合），且直線與平面所成角的正弦值為，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直線l沿x軸正方向平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，沿y軸正方向平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到直線l1.再將直線l1沿x軸正方向平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，沿y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，又與直線l重合.若直線l與直線l1關(guān)于點(diǎn)（2，3）對(duì)稱，則直線l的方程是________________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在橢圓上．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)點(diǎn)在橢圓的圖像上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，求曲線的軌跡方程，并指出該曲線是什么圖形；

（3）過橢圓上異于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為不在坐標(biāo)軸上），若直線在軸，軸上的截距分別為試問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

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